首先推导前半部分

∫ 0 + ∞ P { Y ; y } d y = ∫ 0 + ∞ ∫ y + ∞ f Y ( x ) d x d y = ∫ 0 + ∞ ∫ 0 x d y f Y ( x ) d x = ∫ 0 + ∞ x f Y ( x ) d x \int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y ; y \end{Bmatrix}dy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{y}^{+\infty}f_Y(x)dxdy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{x}dyf_Y(x)dx \\ = \int_{0}^{+\infty} xf_Y(x)dx ∫0+∞​P{Y>y​}dy=∫0+∞​∫y+∞​fY​(x)dxdy=∫0+∞​∫0x​dyfY​(x)dx=∫0+∞​xfY​(x)dx

同理后半部分

∫ 0 + ∞ P { Y ; − y } d y = ∫ 0 + ∞ ∫ − ∞ − y f Y ( x ) d x d y = ∫ − ∞ 0 ∫ 0 − x d y f Y ( x ) d x = − ∫ − ∞ 0 x f Y ( x ) d x \int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y ; -y \end{Bmatrix}dy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{-\infty}^{-y}f_Y(x)dxdy \\ = \int_{-\infty}^{0} \int_{0}^{-x}dyf_Y(x)dx \\ = -\int_{-\infty}^{0} xf_Y(x)dx ∫0+∞​P{Yy​}dy−∫0+∞​P{Y