定义1： 设 f f f是 X X X上的实函数，若 ∀ t ∈ R \forall t \in \mathbb{R} ∀t∈R，集合 X ( f > t ) X(f>t) X(f>t)是 F \mathcal{F} F可测集，则称 f f f为 X X X上的 F \mathcal{F} F可测函数，简称可测函数。

定理1： 设 f f f是 X X X上的实函数，则以下条件等价。 （1） f ∈ M f\in \mathcal{M} f∈M； （2） ∀ t ∈ R \forall t \in \mathbb{R} ∀t∈R， X ( f ≥ t ) X(f\ge t ) X(f≥t)是可测集； （3） ∀ t ∈ R \forall t \in \mathbb{R} ∀t∈R， X ( f < t ) X(f< t) X(ffk​(x)}； （2） inf ⁡ k ≥ 1 { f k ( x ) } \inf\limits_{k \ge 1}\{f_k(x)\} k≥1inf​{fk​(x)}； （3） lim ⁡ k → ∞ ‾ f k ( x ) \overline{\lim\limits_{k \rightarrow \infty}}f_k(x) k→∞lim​​fk​(x)； （4） lim ⁡ k → ∞ ‾ f k ( x ) \underline{\lim\limits_{k \rightarrow \infty}}f_k(x) k→∞lim​​fk​(x)；都是 X X X上的可测函数，若 lim ⁡ k → ∞ f k ( x ) = f ( x ) \lim\limits_{k \rightarrow\infty} f_k(x)=f(x) k→∞lim​fk​(x)=f(x)则 f ( x ) f(x) f(x)还是 X X X上的可测函数。