在数学分析课程中，所研究的函数基本上是连续的，许多情形还要求是可导的.实变函数论所研究的函数，则要宽泛得多，我们称之为可测函数.它包括很多不连续的函数，例如多次提到过的狄利克雷函数等连续函数只是可测函数的一个特例.

在本书的引言中，我们提到过，一种新的积分是曲边梯形的面积"横"着数，即把函数的值域分割成小段

A = y 0 < y 1 < y 2 < ⋯ < y i < ⋯ < y n = B , A = y _ { 0 } < y _ { 1 } < y _ { 2 } < \cdots < y _ { i } < \cdots < y _ { n } = B , A=y0​