本文为期权定价系列专题的第一篇，主要介绍期权定价的基本定价原理。原文来自期权定价 | 基本定价原理。

无套利定价法是衍生品定价当中最为基础的方法。为此我们首先对无套利定价法着重展开说明。

1. 无套利的定义：

设投资组合初始价值 X(0)=0 ，若套利存在，则存在一个时刻T>0使得 X(0)=0 且 P(X(T)\geq 0)=1 。说白了，套利就是某个时刻一定不会亏，且这个时刻的确有可能赚钱。那么对应的无套利便是：任何时刻，要么可能会亏，要么一定没赚钱。由此我们便可得到无套利的另一种表述：若投资组合完全无风险，其收益必然等于无风险收益。

2. BS框架下的期权无套利定价

要了解BS公式是如何推导的，首先我们必须要回到Black-Scholes模型的假设：

其中， \frac{dS_t}{S_t} 可以理解为资产的瞬时收益率，从定义上可以理解为资产瞬时平均收益+瞬时正态随机扰动。

有了BS模型的假设后，我们来看看BS公式如何推导：要用到上面的无套利假设，我们需要构造一个无风险的组合。不妨考虑动态对冲过程——设持有一份看涨期权空头（期权价值为 c=c(S_t,t) ）和 \Delta_t 份标的资产组合，其中 t\rightarrow t+dt 这段时间内， \Delta_t 保持不变。那么这个投资组合价值为\Pi(S_t,t)=-c+\Delta_t S_t \\ 根据Ito引理， dc=\frac{\partial c}{\partial t}dt+\frac{\partial c}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 c}{\partial S^2} dt\\ 那么我们便可以写出该投资组合价值的微分，即 \begin{equation*} \begin{aligned} d\Pi(S,t)&=-dc+\Delta_t dS\\ &=[-\frac{\partial c}{\partial t}-\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 c}{\partial S^2}+(\Delta_t-\frac{\partial c}{\partial S})\mu S]dt+(\Delta_t-\frac{\partial c}{\partial S})\sigma S dZ_t \end{aligned} \end{equation*}\\ 要使得构建的组合无风险，应有 \Delta_t=\frac{\partial c}{\partial S}\\ 此时，由于该组合无风险，根据前面所述的无套利原理，其未来收益必定等于无风险收益。为此有 d\Pi=r\Pi dt，换言之，

-\frac{\partial c}{\partial t}-\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 c}{\partial S^2}=r(-c+S\frac{\partial c}{\partial t})\\ 整理以上式子，得到 \frac{\partial c}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 c}{\partial S^2}+r S \frac{\partial c}{\partial S}=rc\\

上述式子被称作Black-Scholes方程。我们可以注意到这个方程中并不含资产收益率 \mu ，只跟无风险利率 r 相关。这是因为动态对冲过程使得资产收益所存在的风险溢价消失。这为后面的风险中性定价给出了启示。

Black-Scholes方程有了，那么下面自然是怎么去求解这个方程。你可以用诸如热传导方程的一维泊松公式去整，这自然可以。但这对于未学过偏微分方程的读者比较困难。下面我们介绍一个更为好用的定理——Feynman-Kac定理：

考虑一个光滑函数 F(X_t,t) ，设该函数满足:

\left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial F}{\partial t}+\mu(X,t)\frac{\partial F}{\partial X}+\frac{1}{2}\sigma^2(X,t)\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}=rF \\ &F(X_T,T)=h(X_T) \end{aligned} \right.\\ 若对 X_t 有 dX_t=\mu(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dZ_t\\ 其中 Z_t 为标准Brown运动。如果 \int_0^T E[(\sigma(X_t,t)\frac{\partial F}{\partial X})^2]dt\begin{aligned} c_t &=e^{-r(T-t)}E_t[(S_T-K)1_{\{S_T>K\}}]\\ &=e^{-r(T-t)}E_t[S_T1_{\{S_T>K\}}]-Ke^{-r(T-t)}E_t[1_{\{S_T>K\}}]\\ &=e^{-r(T-t)}I_1-Ke^{-r(T-t)}I_2 \end{aligned}\\ 其中, \begin{aligned} I_1 &=E_t[S_t e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)+\sigma(Z_T-Z_t)}1_{\{S_T>K\}}]\\ &=S_te^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}E_t[e^{\sigma(Z_T-Z_t)}1_{\{-(Z_T-Z_t)\begin{aligned} I_2 &=E_t[1_{\{S_T>K\}}]\\ &=E_t[1_{\{-(Z_T-Z_t)图1：风险中性定价原理2. 测度变换

既然要在风险中性测度下去计算价格，你就需要有相应的工具去转换到风险中性测度。这就需要RN导数。设 (\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P}) 为概率空间，存在一个几乎必然非负的随机变量 Z 使得 E(Z)=1 ，且对于任意的 A\in\mathscr{F} 有： \widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_A Z(w)d\mathbb{P(w)}\\ 则可以验证 \widetilde{\mathbb{P}} 是概率测度，且 \widetilde{\mathbb{P}} 与 \mathbb{P} 等价，则我们不妨记 Z 为 \widetilde{\mathbb{P}} 关于 \mathbb{P} 的RN导数（Radon-Nikodym derivative），即 Z=\frac{d\widetilde{\mathbb{P}}}{d\mathbb{P}} 。

根据Radon-Nikodym定理，我们又可以进一步证明，只要 \mathbb{P} 与 \widetilde{\mathbb{P}} 在 (\Omega,\mathscr{F}) 上等价，那么必然存在上述所说的RN导数 Z 。

为此，若概率测度 \mathbb{P} 和RN导数 Z 存在，则可以导出等价概率测度 \widetilde{\mathbb{P}} 。若 \mathbb{P} 和等价概率测度 \widetilde{\mathbb{P}} 存在，则一定可以导出RN导数 Z 。即Z是沟通 \mathbb{P} 和 \widetilde{\mathbb{P}} 的桥梁。

以上为数学上的定义。那么RN导数从直觉上该如何理解？我们从最原始的测度定义进行演化。

综上所述，RN导数 Z 本身的作用便是相当于单位变换的系数。他在我们的测度变换中起到非常关键的作用。通过RN导数和期望的定义，我们也可以得到两个非常重要的性质：

(1) 测度变换后的期望里头只需要再乘上相应的RN导数部分即可，即 E^{\widetilde{P}}(X_t)=E^P(\rho_t X_t) , E^{\widetilde{P}}(X_t|I_s)=E^P(\frac{\rho_t}{\rho_s} X_t|I_s)

(2) 根据RN导数的定义，设 N_t 和 M_t 分别为 Q_N 和 Q_M 下的计价单位，从 (N_t,Q_N) 到 (M_t,Q_M) 的RN导数为 Z_t=\frac{dQ_N}{dQ_M}|_{I_t}=\frac{N_t}{N_0}/\frac{M_t}{M_0}

有了测度变换的概念，我们就来看看Girsanov定理。

设 W_t 为 P 下的标准Brown运动， I_t 是 W_t 生成的自然域流。令 \theta_t 为 I_t 适应的随机过程，且满足Novikov条件: E[e^{\int_0^t \frac{1}{2}\theta_s^2 ds}]