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1、第十三、二十章欧式期权定价本章内容，、交换期权、八Black公式（远期期权定价）、Mer t o n公式:、利率期权：利率上限、利率下限、互换期权一、交换期权1、交换期权的定义 交换期权是指期权到期时，期权的多头具 有用一个风险资产交换另一个风险资产的 权利。考虑风险资产S1和S2,在时刻T用资产2交换 资产1的一份欧式期权，其到期日价值为：max Si(T)-S2CO)(12.33)看涨和看跌期权可以看成特殊的交换期权。2、欧式交换期权定价(1)假设 两个风险资产的随机过程服从两个几何布 朗运动：警=,*+内力3,(12.34)且两个布朗运动da之间的相关性为p,并 且假设两个资产价格比值的

2、波动率为常数:o=(端+遍2P02(12.35)(2)交换期权的鞅定价max(0,Si(T)S2CO)=Si(T)I S2(T)/(12.36)苴中 i-f1 Si(T)之 S2(T)其中z-(o 其他对Q i(T)=Si(T)/,Q2(T)=S2(T)Z 两部分分别定价。以匕)=4送Si作为计价物对Q 1(T)定价，有：(12.37)Q i(0)=匕 SiCQ i S1(O)-0 LTS1(T)所以有，Q i(O)=e-rS1(0)E1Z=e-SiPr o b ST)S2(T)(12.38)交换期权的鞅定价以%=作为计价物对Q 2（T）定价，有Q 2（0）=e-q2T S2（0）E%/=e-

3、q2Ts2（0）Pr o b%（T）S2（T）则交换期权的价格：Q（0）=Q i（O）-Q 2（。）=ef 2Ts2（0）E；2田(12.39)(12.40)计算：probST)S2(T)计算：probm S2（r）Z(t)=旦D=e(Q 2-Q l)t(t)(12.41)Vi(t)S(t)Vi(t)作为计价物，Z(t)是一个鞅过程，Z的微分方程 的漂移项系数为0。Z(t)的波动率即为岑的波动率（Jo 已经推导过两个几何布朗运动的比值仍然是几何布 朗运动，并且这里费的漂移项系数日等于零：dZ v=adBz1(12.42)dB。1是dBs和dBs2的线性组合。计算：probvSrm S2(r)Z

4、(T)=2(0)3一会町+洲苗”丁)=S2(0)c42T+o dB 尸(12.43)i J _ I _ Si(O)So(T)Si(T)S2(T)一 Z(T)=眄/；-eaf】)7一逊e/r+bVTJ v e(Q 2-Q1)T S1(O)一 S2m=N(di)(12.45)交换期权定价公式同理，有：prob2Si(T)S2(T)=NQ2)(12-46)d，2 电(XyT(12.47)欧式交换期权定价公式：Q(0)=eFSi(0)E21 L2Ts2(0 滞/=eFSi(O)N(di)-eF2Ts2(0)N(d2)(12.48)二、Blac k 公式、Mert on 公式 1、远期期权与Black公

5、式(1)远期期权 假设远期合约到期日是T,一份基于远期合 约的欧式看涨期权到期日为T(T D o 如果是一个欧式看涨的远期期权，则意味 着期权到期时(7时刻)，期权的买方有权 与交易对手按照事先约定的协议价格K签订 一份到期日为丁的远期合约的多头。远期期权的执行 如果T时刻买方执行欧式看涨远期期权，则进入一个远期合 约多头，T时刻其损益为：S(T，)一K(12,49)对期权买方来说，如何判断T时刻是否应该执行期权？T时刻，市场上存在标的资产到期日为T的远期合约，在T 时刻远期价格是尸(T)(远期合约的价值在T时刻为0)。T时刻，若买方执行期权的同时在远期市场上签订一个远期 合约空头，即约定在T

6、时刻按照T)的价格卖出一个标的 资产，厂时刻的损益：尸(T)S(T)(12.5 0)综合(12.49)和(12.50),时刻执行欧式远期看涨期权，T时刻的支付为:F(T)K(12.5 1)只有当F(T)2 K的时候，执行远期看涨期权才是合理的，该支付是确定 的。远期期权的定价 将厂时刻的支付贴现到T时刻，得到远期期权在T时刻的价 值：P(T7)max(T)K,0)(12.5 2)或者，max(P(T,T，)F(T)-KP(T,T),0)(12.5 3)因此，该远期期权实际上可看作如下两个资产的交换期权：S1*Q)=P(t,r)F(t)(12.5 4)s2*(t)=KPQ 7)S2*(。是K份厂

7、时刻到期的贴现债券的价格，而SJ是一(举55)资产组合，稍后会说明。并且S1*(。和S2*(t)都是没有红利支 付的。远期期权的定价公式(Blac k公式)根据交换期权的定价公式，可以写出看涨的欧式远期期权的定价公式：尸(0,T)F(0)N(di)-P(0,T)KN(d2)(12.5 6)jn(平)+rr f i=-(12.5 7)ctVTd2=d1 erVT(12.5 8)注意：。是雾的波动率，而阴=萼，s2(0 S2(t)k因此。就是远期价格的波动率。资产 sj(t)=PQ 7)F o时刻，一份丁时刻到期的远期合约多头+5(0)份T时刻到期的贴现债券。，时刻，该组合的价值：(F(t)-F(

8、0)P(t 7)+9(0)P(,T)=PC7)F(t)2、Mert on 公式 Black-Scho les公式是假定存在为常数的无风险利率r的 期权定价公式。Mer t o n公式是讨论不存在常数无风险 利率时，期权的定价公式。现在假设市场上找不到常数的无风险利率，而只有一 个期限为T的贴现债券。1元名义本金的贴现债券当前 的价格为P,T）。远期合约定价公式：+k P（t,T）=eq（TT）S（。（125 9）远期价格可以表示为：_ S（12.6 0）（）_ PQ,T）远期价格的波动率：F=,+中-2Poscp X%Mert on公式 远期期权中，取丁=丁时，由于远期价格到 期时收敛于现货价

9、格，F(T)=S(T),P(TT)=P(T,T)=lo 此时远期期权就等于现货期权。因此可以使用取7=7时的Black公式为现货 期权定价。此定价公式为Mer t o n公式。Merton公式因为 F(0)=s胃:;所以F(0)尸(0,7)=e-8S(0)。欧式看涨期权：C(0)=尸(OjT)/(O)N(dJ P(0,T)KN(d2)=es(o)N(di)-P(0,T)KN(d2)(12.6 1)垣(叫+*t 需耦+*7(j4T(j/T d2=d1 aFVr(12.6 2)(12.6 3)d=这里的。F是远期价格的波动率，而不是股票S的波 动率。这是和BS公式的区别。3、延迟交换期权定价公式

10、以远期合约为标的的期权，可以看成在期权 到期日T执行的在远期合约到期日T以现金 K交换远期合约标的资产S的交换期权。这 是一个交换期权，交换发生的时间T是期权 到期日T之后的固定时间,即T 0j=乙一 N)。远期互换的名义本金为L=1元。市场上，时刻远期互换的协议利率(即互换利率)定义Rfr(/)o远期互换利率在心()(0)随着时间 变动会发生变化。下面分析如何确定公平的远期互换利率Rfk“)。按照第十章的分析.支付方利率互换可看作浮动利率债券多头和固定利率债券空头 的组合。在互换的开始的，。时浮动利率债券的价值总是等于互换的本金的金额，因此 浮动利率债券在f时的价值为Vn(t)=P(t./0

11、)(20-13)而固定利率债券等于利息和本金的贴现值之和.即NVy,x(/)=/Kfk(/)Vp(/,z,)-|-P(/,/、)(20-14)因此支付方远期互换的价值为.V=P(f。)一/)(八 zv)-A/7FK(/)y；P(/./,)(20-15)1=1由匕=0 得利:平的远期互换协议利率/(/)为Pit./0)-P(z,/.V)RFK(t)=-(20-16)（2）互换期权的定价（支付方互换期权为例）在期权到期II T协议利率为Rk的远期互换的价值由式（20T5）计算，显然,期权到 期II T时.只有协议利率为/金的远期互换的价值大于。时，期权的买方才会执行期权，即支付方互换期权在到期II

12、 T时的回报为NmaxO,P（T,/0）-P（T,鼠）一 除 2 P（丁 4）（12-17）L i=i由式（12-16）,有NP（T,/。）一P（T,/n）=Kfk（T）、P（T，乙）（12-18）1=1将式（12T8）代入式（12-17）,可以得到NmaxO,A/FK（T）-1?KVP（T/,）（12-19）L i=i定义NS1(/)=P(z,z0)-P(/,/N)=A/?FK(z)Vp(z,%)i=l和S.,(/)=A/R k P(/,/.)i=l支付方互换期权可以看成s(/)与S2(/)的交换期权.H这两个资产是不支付红利的资 产。S(/)与S2(/)的比值为Kfk(/)/Kk比值的波动

13、率等于远期互换利率Kfk(/)的波 动率,假设其波动率为常数。从交换期权的Margrabe定价公式.可以得到欧式互换期权的Black公式。假设远期 互换利率Kfk(，)的波动率为常数支付方互换期权在0时的价值为NP(0,zo)-P(O,/,、)N(1)QKk-P(O,4)N(dz)(12-20a)j-i收取方互换期权在0时的价值为NA/R尺 P(0,l,)N(d2)P(0,/0)P(0,/)N(d)(1220b)其中InP(0,/0)-P(0,ZN)N/Kk 3P（。，乙）1 2H-b FK T2(12-20c)aFKd 2=d 一(7 FK(12-20d)例2（）4假设Libor收益率曲线是

14、平坦的，年利率4%按连续复利计息。考虑如下 支付方互换期权,持有者具有在1年后开始一个3年期支付方利率互换的权利,互换期权 的协议利率为4.2%,每半年支付一次，本金为$1 000万。远期互换利率的波动率为 20%。在这种情况下62P(0,1=1,-0.04X1.5 -0.04 X2 -H).O4 X2.5-0.01X3 0.04X3.5-HJ.O4X4 r qh q itj)=e+e-f-e 十 e 十 e+e=*3781P(0,l)-P(0,4)=Lxi-73*=0.108 6另外，在这个例子中.L=$1 000万，A=0.3./.=4.2%,T=U aFK=0.2o因此.In0.108 6 1 1,-H-X 0.2 X 10.5 X 0.042 X 5.378 1J 20.2 X VT=0.093 8d2 di ofk VT=-0.093 8 0.2a/T=-0.293 8从式（20-11）可得到支付方互换期权的价值为10 X 0.108 6 N(0.093 8)一 0.5 X 0.042 X 5.378 1N(-2.093 8)=$0.06 8 2(百万)即$68 200 o