整除

一、常见数字的整除判定方法

1.

一个数的末位能被

 2 

或

 5 

整除，这个数就能被

 2 

或

 5 

整除；

一个数的末两位能被

 4 

或

 25 

整除，这个数就能被

 4 

或

 25 

整除；一个

数的末三位能被

 8 

或

 125 

整除，这个数就能被

 8 

或

 125 

整除；

2.

一个位数数字和能被

 3 

整除，这个数就能被

 3 

整除；

一个数各位数数字和能被

 9 

整除，这个数就能被

 9 

整除；

3.

如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被

 11 

整除，那么这

个数能被

 11 

整除

. 

4.

如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被

 7

、

11 

或

 13 

整除，那

么这个数能被

 7

、

11 

或

 13 

整除

. 

5.

如果一个数能被

 99 

整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位

则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一

位数）的和是

 99 

的倍数，这个数一定是

 99 

的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立

.

）

二、整除性质

性质

 1

如果数

a

和数

b

都能被数

c

整除，那么它们的和或差也能被

c

整除．即如果

c

︱

a

，

c

︱

b

，那么

c

︱

(

a

±

b

)

．

性质

 2

如果数

a

能被数

b

整除，

b

又能被数

c

整除，那么

a

也能被

c

整除．即如果

b

∣

a

，

c

∣

b

，那么

 c

∣

a

．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质

 3

如果数

a

能被数

b

与数

c

的积整除，那么

a

也能被

b

或

c

整除．即如果

bc

∣

a

，那

么

b

∣

a

，

c

∣

a

．

性质

 4

如果数

a

能被数

b

整除，也能被数

c

整除，且数

b

和数

c

互质，那么

a

一

定能被

b

与

c

的乘积整除．即如果

b

∣

a

，

c

∣

a

，且

(

b

，

c

)=1

，那么

bc

∣

a

．

例如：如果

 3

∣

12

，

4

∣

12

，且

(3

，

4)=1

，那么

(3×

4) 

∣

12

．

性质

 5

如果数

a

能被数

b

整除，那么

am

也能被

bm

整除．如果

b

｜

a

，那么

bm

｜

am

（

m

为

非

 0 

整数）；

性质

 6

如果数

a

能被数

b

整除，且数

c

能被数

d

整除，那么

ac

也能被

bd

整

除．如果

b

｜

a 

，且

 d

｜

c 

，那么

 bd

｜

ac

；

余数

一、三大余数定理：

1.

余数的加法定理

a 

与

 b 

的和除以

 c 

的余数，等于

 a

,

b 

分别除以

 c 

的余数之和，或这个和除以

 c 

的余

数。例如：

23

，

16 

除以

 5 

的余数分别是

 3 

和

 1

，所以

 23+16

＝

39 

除以

 5 

的余数等于

4

，即两个余数的和

 3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以

c

的

余数。

例如：

23

，

19 

除以

 5 

的余数分别是

 3 

和

 4

，所以

 23+19

＝

42 

除以

 5 

的余数等于

3+4=7 

除以

 5 

的余数为

 2 

2.

余数的减法定理