( i ) : ∀ a ∈ G , ∃ a − 1 , a ⋅ a − 1 = e (i):\forall a \in G,\exists a^{-1},a \cdot a^{-1}=e (i):∀a∈G,∃a−1,a⋅a−1=e

( i i ) (ii) (ii)封闭性,可逆性，结合性

群的判定定理： ∀ a , b ∈ G , ∃ x , y , a x = b a n d y a = b \forall a,b\in G,\exists x,y,ax=b \quad and \quad ya=b ∀a,b∈G,∃x,y,ax=bandya=b{证明这个的话，我们只需取a,a的话,我们就可以先把单位元确定了，然后利用性质自然逆元就得到了} 性质： 在群里消去律是成立的

半群的定义： 半群只要求满足结合律(幺半群有单位元)

设G是一个群，H是G的一个非空子集,如果H关于G的运算也构成群，则称H为G的一个子群 ,记为 H < G Hah∣∀h∈H}

正规子群： ∀ a ∈ G a H = H a \forall a \in G \quad a H=H a ∀a∈GaH=Ha 则我们记作 H ◃ G H \triangleleft G H◃G

关于正规子群的等价性命题： ∀ a ∈ G , a H a − 1 = H \forall a \in G,aHa^{-1}=H ∀a∈G,aHa−1=H ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊆ H \forall a \in G,aHa^{-1}\subseteq H ∀a∈G,aHa−1⊆H ∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H \forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H ∀a∈G,h∈H,aha−1∈H

商群的概念结合了陪集与正规子群 如 果 H ◃ G , 如果 H \triangleleft G \quad , 如果H◃G, G / H G/H G/H称为商群

f : ( G , ⋅ ) → ( H , △ ) ， f ( g 1 ⋅ g 2 ) = f ( g 1 ) △ f ( g 2 ) ) f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)， f(g_{1}\cdot g_{2})=f(g_{1})\triangle f(g_{2})) f:(G,⋅)→(H,△)，f(g1​⋅g2​)=f(g1​)△f(g2​)) f为单射 → \rightarrow →单同态 f为满射 → \rightarrow →满同态 f为双射 → \rightarrow →同构

单位元具有唯一性: f ( e 1 ) = f ( e 1 2 ) = f ( e 1 ) Δ f ( e 1 ) = [ f ( e 1 ) ] 2 f\left(e_{1}\right)=f\left(e_{1}^{2}\right)=f\left(e_{1}\right) \Delta f\left(e_{1}\right)=\left[f\left(e_{1}\right)\right]^{2} f(e1​)=f(e12​)=f(e1​)Δf(e1​)=[f(e1​)]2

f :G → H \rightarrow H →H (G, ⋅ \cdot ⋅) → ( H , △ ) \rightarrow(H,\triangle) →(H,△) G K e r f ≅ I m f \frac{G}{Kerf}\cong Imf KerfG​≅Imf { K e r f = g ∣ f ( g ) = e H } a n d I m f = { f ( g ) ∣ g ∈ G } \left\{Kerf=g|f(g)=e_{H}\right\} \quad and \quad Imf=\left\{f(g)|g \in G \right\} {Kerf=g∣f(g)=eH​}andImf={f(g)∣g∈G}} 这个其实是很直观的结论 令gKerf= g ˉ \bar{g} gˉ​ 这里证明的重点需要证明良序性，单射和满射 良序性比较简单， 第二同构定理： H / ( H ∩ K ) ≅ H K / K H\big/(H \cap K) \cong HK\big/K H/(H∩K)≅HK/K

群同构第三定理

G / H ≅ ( G / K ) / ( H / K ) G \big/ H \cong (G\big/K)\bigg/(H\big/K) G/H≅(G/K)/(H/K)

循环群分类定理 { ( a m ) ≅ Z m ( a ) ≅ Z \begin{cases} (a_{m}) \cong Z_{m} \\ (a)\cong Z \end{cases} {(am​)≅Zm​(a)≅Z​

任何一个群都同构于一个对称群的子群

H < G Hgx∣∀g∈G})由此得到： O y ⊂ O x , 同 理 可 证 O x ⊂ O y → O x = O y O_y \subset O_x,同理可证O_x \subset O_y \rightarrow O_x =O_y Oy​⊂Ox​,同理可证Ox​⊂Oy​→Ox​=Oy​

由于 O x = { g x ∣ ∀ g ∈ G } O_{x}=\{gx|\forall g\in G\} Ox​={gx∣∀g∈G}

这里我们注意一个事实，尽管 ρ \rho ρ是一个双射，但是群的阶数与集合的阶数不相等。

这是需要我们格外注意的地方：因为我们经常认为群作用了的话，本身就应该与映射出来的集合是一样的，即： ∣ g ( x ) ∣ = X |g(x)|=X ∣g(x)∣=X,而不是 ∣ G ∣ = ∣ X ∣ |G|=|X| ∣G∣=∣X∣

我们来看个例子，首先我们必须明白一点群的作用只是个抽象的作用，并不是群真实的作用在集合上，这只是一个称呼。

我们定义 φ : g ( x ) = g x g − 1 , ∀ g ∈ G \varphi:g(x)=gxg^{-1},\forall g \in G φ:g(x)=gxg−1,∀g∈G

我们有这样的事实：

( i ) e ( x ) = e x e − 1 (i)e(x)=exe^{-1} (i)e(x)=exe−1

( i i ) g 1 ( g 2 ( x ) ) = g 1 ( g 2 x g 2 − 1 ) g 1 − 1 = g 1 g 2 x ( g 1 g 2 ) − 1 (ii)g_1(g_2(x))=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1g_2x(g_1g_2)^{-1} (ii)g1​(g2​(x))=g1​(g2​xg2−1​)g1−1​=g1​g2​x(g1​g2​)−1

我们很容易提出问题： ∣ G ∣ ? = ∣ O x ∣ ？ = ∣ G × X ∣ |G|?=|O_x|？=|G \times X| ∣G∣?=∣Ox​∣？=∣G×X∣

？？我们注意一件事情，如果G为交换群，则 g ( s ) = g 1 g 2 ( s ) = g 2 ( g 1 ( s ) ) g(s)=g_1g_2(s)=g_2(g_1(s)) g(s)=g1​g2​(s)=g2​(g1​(s))

我们首先要注意事实： ∣ G ∣ |G| ∣G∣和 ∣ O x ∣ |O_x| ∣Ox​∣在大多时候的阶数是不一样的

我们先来看看轨道稳定子定理：

我们定义稳定子： S x = { g x = x } S_x=\{gx=x\} Sx​={gx=x}

那么有这样的事实： ρ : O x → G / S x \rho: O_x \rightarrow G \big/S_x ρ:Ox​→G/Sx​

g x → g S x gx \rightarrow gS_x gx→gSx​

那么我们 O x O_x Ox​到 G / S x G \big/ S_x G/Sx​的一一映射

这个是很有意思的事情，一般不容易发现，这样我们就定义 ∣ G ∣ |G| ∣G∣与 ∣ O x ∣ |O_x| ∣Ox​∣的关系

我们先来证明轨道稳定子定理：

( i ) ρ 为 单 射 ： ρ ( g 1 x ) = ρ ( g 2 x ) → g 1 S x = g 2 S x , g 1 − 1 g 2 S x = S x (i)\rho 为单射：\rho(g_1 x)=\rho(g_2x)\rightarrow g_1S_x=g_2S_x,g_1^{-1}g_2S_x=S_x (i)ρ为单射：ρ(g1​x)=ρ(g2​x)→g1​Sx​=g2​Sx​,g1−1​g2​Sx​=Sx​

g 1 − 1 g 2 ∈ S x , g 1 − 1 g 2 x = x g_1^{-1}g_2 \in S_x,g_1^{-1}g_2x=x g1−1​g2​∈Sx​,g1−1​g2​x=x

我们得到了很重要的结论： ∣ G ∣ = ∣ S x ∣ ∣ O x ∣ |G|=|S_x||O_x| ∣G∣=∣Sx​∣∣Ox​∣

我们来看看一个群作用：

多项式： x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 4 + x 4 x 1 x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1 x1​x2​+x2​x3​+x3​x4​+x4​x1​的对称变换的群

X = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } X=\{x_1,x_2,x_3,x_4\} X={x1​,x2​,x3​,x4​},G作用在X上， τ = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) \tau=(1,2,3,4) τ=(1,2,3,4)

！！我们要注意这个事实，我们每次的群作用都是利用在X里面去一个元素来完成，所以我们如果要来衡量 ∣ X ∣ |X| ∣X∣的阶数，

∣ X ∣ = ∑ i = 1 t [ G : S x i ] |X|=\sum_{i=1}^{t}[G:S_{x_i}] ∣X∣=∑i=1t​[G:Sxi​​],其中 x i x_i xi​取遍不同轨道的代表元素

我们注意一个很有意思的现象，因为群本身的定义是集合，然后有规定的运算，我们可以定义群作用于群本身的集合，

G × G → G G \times G \rightarrow G G×G→G,我们这里不采用抽象的定义，即映射的方式： g 1 ( g 2 ) → g g_1(g_2) \rightarrow g g1​(g2​)→g,这里我们采用共轭作用，群 G G G作用在自身

x ∈ G , O x = { g x g − 1 ∣ g ∈ G } , S x = { g ∈ G ∣ g x g − 1 = x } x \in G,O_x=\{gxg^{-1}|g \in G\},S_x=\{g \in G|gxg^{-1}=x\} x∈G,Ox​={gxg−1∣g∈G},Sx​={g∈G∣gxg−1=x}

我们通常把 O x O_x Ox​称为x所在的共轭类， S x S_x Sx​称为中心化子

所以我们得到了一个重要的定理：

∣ G ∣ = ∑ x ∣ G : C ( x ) ∣ |G|=\sum_{x}|G:C(x)| ∣G∣=∑x​∣G:C(x)∣，我们对这个等式进行整理，把x为中心元素的共轭类的代表元都弄出来，

∣ G : C ( x ) ∣ = 1 |G:C(x)|=1 ∣G:C(x)∣=1(x为中心元素的共轭类)

G G G为有限群， ∣ G ∣ = ∣ C ( G ) ∣ + ∑ x ∣ G : C ( x ) ∣ |G|=|C(G)|+\sum_{x}|G:C(x)| ∣G∣=∣C(G)∣+∑x​∣G:C(x)∣

(x为取遍非中心元素的共轭类的代表元)

推论：Cauchy定理：如果 G G G为一个有限群， ∣ G ∣ = n |G|=n ∣G∣=n,对于n每一个素因子p， G G G都有阶为p的元素

( i ) ( R , + ) (i)(\mathbb{R},+) (i)(R,+)构成一个交换群 ( i i ) ( R , ⋅ ) (ii)(R,\cdot) (ii)(R,⋅)满足结合律 ( i i i ) ( R , + , ⋅ ) (iii)(R,+,\cdot) (iii)(R,+,⋅)满足分配律 若环K中没有零因子，则消去律成立

若 a b = b a , ∀ a , b ∈ R ab=ba,\forall a,b \in R ab=ba,∀a,b∈R交换环 子环 ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)是一个环,S为R的一个非空子集，S关于R的运算成环，则称S为R的子环 ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)是一个环,S为R的一个非空子集，则S为R的子环的充分必要条件： (i)(S,+)为(R,+)的加法子群 (ii) ∀ a , b ∈ S → a b ∈ S \forall a,b \in S\rightarrow ab \in S ∀a,b∈S→ab∈S

零因子: a ≠ 0 , ∃ b ≠ 0 , 使 得 a b = 0 a \neq 0,\exists b \neq 0,使得ab =0 a​=0,∃b​=0,使得ab=0 这里我们注意，零因子的概念重要性从反面而言，是很显然的，在日常生活中的常用的代数结构， R \mathbb{R} R，除开零元来看的话，都是没有零因子这种代数结构的 这里注意零因子与零元不是一个概念(我们日常使用的代数系统都是无零因子环很多，满足环的消去律)

无零因子环:我们把没有零因子，有单位元e的环称为无零因子环 {整环} 一个没有零因子，有单位元e的交换环R称作整环 高斯整环: Z [ i ] Z[i] Z[i] ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)满足结合律，则称为域 \noindent 四元数体(Hamilton quaternion field)= { a + b i + c j + d k ∣ a , b , c , d ∈ R } \left\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in R\right\} {a+bi+cj+dk∣a,b,c,d∈R} 除环} R有单位元 e ≠ 0 e \neq 0 e​=0的环，在环中非零元都可逆 域} F为一个有单位元的交换环，如果每个非零元都可逆，则称为域

Q 2 3 Q \sqrt[3]{2} Q32 ​

设 R 1 , R 2 R_{1},R_{2} R1​,R2​为两个环， f : R 1 → R 2 f:R_{1} \rightarrow R_{2} f:R1​→R2​ 若f满足： (i) f ( r 1 + r 2 ) = f ( r 1 ) + f ( r 2 ) f(r_{1}+r_{2})=f(r_{1})+f(r_{2}) f(r1​+r2​)=f(r1​)+f(r2​) (ii) f ( r 1 r 2 ) = f ( r 1 ) f ( r 2 ) f(r_{1}r_{2})=f(r_{1})f(r_{2}) f(r1​r2​)=f(r1​)f(r2​)

R为环，I为R的非空子集，如果I满足： ( i ) ∀ r 1 , r 2 ∈ I , r 1 − r 2 ∈ I (i)\forall r_{1},r_{2}\in I,r_{1}-r_{2}\in I (i)∀r1​,r2​∈I,r1​−r2​∈I ( ∀ r ∈ R , ∀ i ∈ I ) , r i ∈ I (\forall r \in R,\forall i \in I),ri \in I (∀r∈R,∀i∈I),ri∈I称为左理想 i r ∈ T ir \in T ir∈T称为右理想 根理想：设I为交换环R的一个理想，定义集合：

R a d ( I ) = { r ∈ R ∣ 存 在 整 数 n ， 使 得 r n ∈ I } Rad(I)=\{r \in R|存在整数n，使得r^{n}\in I\} Rad(I)={r∈R∣存在整数n，使得rn∈I}

证明 R a d ( I ) 是 R Rad(I)是R Rad(I)是R的理想

(这里我们要注意理想的概念)

考察 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1​,r2​

若 r 1 n ∈ I , r 2 m ∈ I r_{1}^n \in I,r_2^m \in I r1n​∈I,r2m​∈I

考虑 ( r 1 − r 2 ) m + n (r_1-r_2)^{m+n} (r1​−r2​)m+n

这里我们主要考虑 ∑ k = 1 m + n r 1 k r m + n − k \sum_{k=1}^{m+n}r_1^kr^{m+n-k} ∑k=1m+n​r1k​rm+n−k

根据理想的性质， r 1 和 r 2 根 据 次 方 总 有 一 个 满 足 其 中 一 个 属 于 理 想 r_1和r_2根据次方总有一个满足其中一个属于理想 r1​和r2​根据次方总有一个满足其中一个属于理想

不妨设 r k ∈ I r^k \in I rk∈I,根据 s I ⊂ I sI \subset I sI⊂I,显然 ( r 1 − r 2 ) m + n ∈ I (r_1-r_2)^{m+n} \in I (r1​−r2​)m+n∈I

环R,理想I,在(R,+)的商集 R / I = { r + I ∣ r ∈ R } R \bigg/ I = \{r+I|r \in R \} R/I={r+I∣r∈R}上

R为环, ∀ a ∈ R , \forall a \in R, ∀a∈R,,则(a)=由a生成的理想，称为主理想 这个概念比较麻烦，我们康康一个例子，

设R为有单位元的交换环，则主理想： ( a ) = r a ∣ r ∈ R (a)={ra|r \in R} (a)=ra∣r∈R (i)首先证明(a)为R的一个子环， ∀ α , β ∈ ( a ) , → α = r α a , β = r β a \forall \alpha,\beta \in (a), \rightarrow \alpha =r_{\alpha}a,\beta= r_{\beta}a ∀α,β∈(a),→α=rα​a,β=rβ​a 我们利用子环的判定定理 易知 α − β = ( r α − r β ) a ∈ ( a ) \alpha - \beta =(r_{\alpha}-r_{\beta})a \in (a) α−β=(rα​−rβ​)a∈(a) α β = r α r β a a ∈ ( a ) \alpha \beta =r_{\alpha}r_{\beta}aa \in (a) αβ=rα​rβ​aa∈(a)( r α r β ∼ r r_{\alpha}r_{\beta} \sim r rα​rβ​∼r) (ii)我们还要考虑一些事情：(a)本身为理想， ∀ r ˉ ∈ R , r ˉ ( a ) = { r ˉ r a } \forall \bar{r} \in R, \bar{r}(a)= \lbrace \bar{r}ra \rbrace ∀rˉ∈R,rˉ(a)={rˉra} $\bar{r}(a) \subset (a) $

R为交换环，M为R的真理想,对R的任一包含M的理想N → N = M O r N = R \rightarrow N=M \quad Or \quad N=R →N=MOrN=R

R为交换环,P为R的真理想,如果 ∀ a , b ∈ R \forall a,b\in R ∀a,b∈R,由 a b ∈ P → a ∈ P O r b ∈ P ab\in P \rightarrow a \in P \quad Or \quad b \in P ab∈P→a∈POrb∈P

R为一个有单位元的交换环,则R的每个极大理想都是素理想

环的每一个理想都是主理想

除环，域都是主理想

( Z , + , × ) (\mathbb{Z},+,\times) (Z,+,×) 主理想整环

(f{R}(x),+, × \times ×) \ P 1 ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 P_{1}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0} P1​(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​

K ⊂ F K \subset \mathbb{F} K⊂F,为两个域，称 F \mathbb{F} F为K的扩域

代数元 设 F \mathbb{F} F是一个域,称 α \alpha α为代数数，若存在一个多项式f(x) ∈ F [ x ] , s . t . f ( α ) = 0 \in \mathbb{F}[x] ,s.t. f(\alpha)=0 ∈F[x],s.t.f(α)=0

极小多项式

F \mathbb{F} F为域,

极小多项式不可约

群 A A A为交换群，然后固定 n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n∈Z我们证明下面的集合是A的子群： ( a ) { a n ∣ a ∈ A } (a)\{a^n|a \in A\} (a){an∣a∈A} ( b ) { a ∈ A ∣ a n = 1 } (b)\{a \in A |a^n =1\} (b){a∈A∣an=1} 证明 : ( 1 ) a n b − n = ( a b − 1 ) n :(1)a^{n}b^{-n}=(ab^{-1})^{n} :(1)anb−n=(ab−1)n(利用交换群性质，把 a , b a,b a,b弄得更加紧凑),然后根据群的性质, a b − 1 ∈ A ab^{-1} \in A ab−1∈A, ( a b − 1 ) n ⊂ A (ab^{-1})^{n} \subset A (ab−1)n⊂A ( 2 ) (2) (2) ( a b ) m n = ( a b ) ( a b ) ⋯ ( a b ) ⏟ m n  times  = a m n b m n (a b)^{m n}=\underbrace{(a b)(a b) \cdots(a b)}_{m n \text { times }}=a^{m n} b^{m n} (ab)mn=mn times  (ab)(ab)⋯(ab)​​=amnbmn,利用交换群性质，把 a , b a,b a,b弄得更加紧凑，由于 a n = e , b m = e , a m n = a n m = e , b m n = b m n = e a^n=e,b^m=e,a^{mn}={a^n}^{m}=e,b^{mn}={b^m}^{n}=e an=e,bm=e,amn=anm=e,bmn=bmn=e 证明正规子群的等价性命题: ∀ a ∈ G , a H a − 1 = H \forall a \in G,aHa^{-1}=H ∀a∈G,aHa−1=H ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊆ H \forall a \in G,aHa^{-1}\subseteq H ∀a∈G,aHa−1⊆H ∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H \forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H ∀a∈G,h∈H,aha−1∈H

∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H \forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H ∀a∈G,h∈H,aha−1∈H 我们从这里证明正规子群， a h = a h a − 1 a = ( a h a − 1 ) a ⊂ H a ah=aha^{-1}a=(aha^{-1})a \subset Ha ah=aha−1a=(aha−1)a⊂Ha $\forall a \in G ,a{-1}h(a{-1})^{-1} \in H ,\rightarrow ha \in aH,Ha \subset aH $}

f: G → H G \rightarrow H G→H群同态 则$ Kerf \triangleleft G$

{ ∀ g k g − 1 ∈ g K e r f g − 1 f ( g k g − 1 ) = f ( g ) f ( k ) f ( g − 1 ) = f ( g ) e H [ f ( g ) ] − 1 = e H g k g − 1 ∈ K e r f ( g K e r f g − 1 ⊂ K e r f ) \forall gkg^{-1} \in g Kerf g^{-1} \\ f(gkg^{-1})=f(g)f(k)f(g^{-1}) \\ =f(g)e_{H}[f(g)]^{-1}=e_{H} \\ gkg^{-1} \in Kerf(gKerfg^{-1}\subset Kerf) ∀gkg−1∈gKerfg−1f(gkg−1)=f(g)f(k)f(g−1)=f(g)eH​[f(g)]−1=eH​gkg−1∈Kerf(gKerfg−1⊂Kerf)}

证明群同态基本定理f :G → H \rightarrow H →H ( G , ⋅ ) → ( H , △ ) (G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle) (G,⋅)→(H,△) G K e r f ≅ I m f \frac{G}{Kerf}\cong Imf KerfG​≅Imf

{Kerf显然是正规子群,}

设$C(G)= { a \in G|\forall g \in G,ag=ga } $,是群G的中心，证明：如果G/C(G)是循环群，则G是Abel群

简要证明Sylow定理(1,2,3)

设 G 的阶为 168, G 中有多少个阶为 7 元素

在 Z 2 [ x ] \mathbb{Z}_{2}[x] Z2​[x]中多项式 x 3 + x 2 + 1 x^3+x^2+1 x3+x2+1是不可约的，并利用