近世代数练习题题库.docx

1、近世代数练习题题库1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设与都是非空集合，那么。（ ）1.2 AB = BA （ ）1.3 只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（ ）1.4 如果是A到的一一映射,则(a)=a。( )1.5 集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（ ）1.6 设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ ）1.7 在整数集Z上，定义“”：ab=ab(a,bZ)，则“”是Z的一个二元运算。（ ）1.8 整数的整除关系是Z的一个等价关系。( ) 2 填空题：2.1 若A=0,1 , 则AA= _。2.2 设A = 1，2，B = a，b，则AB =_。2.3 设=1

2、,2,3 B=a,b,则AB=_。2.4 设A=1,2, 则AA=_。2.5 设集合；，则有 。2.6 如果是与间的一一映射，是的一个元，则 。2.7 设A =a1, a2,a8，则A上不同的二元运算共有 个。2.8 设A、B是集合，| A | B |3，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2.9 设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有_个.2.10 设A=a,b,c，则A到A的一一映射共有_个. 2.11 设A=a,b,c,d,e，则A的一一变换共有_个.2.12 集合的元间的关系叫做等价关系，如果适合下列三个条件：_。2.13 设A =a, b,

3、c，那么A的所有不同的等价关系的个数为_。2.14 设是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：是两个等价类。则_。2.15 设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么_。2.16 设A =1, 2, 3, 4, 5, 6，规定A的等价关系如下：a b2|a-b，那么A的所有不同的等价类是_ 。2.17 设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，是M上的合同关系，则由给出M的所有不同的等价类的个数是_。2.18 在数域F上的所有n阶方阵的集合M（F）中，规定等价关系AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有_个。2.19 设M100 (F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M

4、100 (F)中规定等价关系如下：AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_个。2.20 若 M=有理数域上的所有3级方阵,A,BM,定义AB秩(A)=秩(B),则由”确定的等价类有_个。3 证明题：3.1 设是集合A到B的一个映射，对于，规定关系“”：证明：“”是A的一个等价关系3.2 在复数集C中规定关系“”：证明：“”是C的一个等价关系 3.3 在n阶矩阵的集合中规定关系“”：证明：“”是的一个等价关系3.4 设“”是集合A的一个关系，且满足：（1）对任意，有；（2）对任意，若就有证明：“”是A的一个等价关系3.5 设G是一个群，在G中规定关系“”：存在于，使得证明：“”

5、是G的一个等价关系第二章 群论1 判断题： 2.1 群的定义.1.1 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G对于这个乘法运算都是封闭的；(B)a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G，使得aG，都有ea=a成立；(D)aG，都存在aG，使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。 ( )1.2 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：A）G对于这个乘法运算是封闭的；B）a,b,cG，都有（ab）c=a(bc)成立；C）存在eG，使得aG，都有ae=a成立；D）aG，都存在aG，使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。（ ）1.3 设G是一个非

6、空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。 ( )1.4 设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。( )1.5 实数集R关于数的乘法成群。（ ）1.6 若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|。( ) 1.7 若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。1.8 设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“”，ab=a+b+ab()构成一个群。（ ）2.2 变换群、置换群、循环

7、群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ）1.10 一个集合A的所有变换作成一个变换群G.( )1.11 集合A的所有的一一变换作成一个变换群。（ ）1.12 素数阶群都是交换群。（ ）1.13 p（p为质数）阶群G是循环群（ ）1.14 素数阶的群G一定是循环群.( )1.15 3次对称群是循环群。（ ）1.16 任意群都同构于一个变换群（ ）1.17 有限群都同构于一个置换群。( )1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。（ ）1.19 在5次对称群中，(15)(234)的阶是6.( ) 1.20 在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。（ ）1.21 在中，(1

8、2)(345)的阶是3。 ( )1.22 任意有限群都与一个交换群同构。（ ）1.23 因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。（ ）1.24 6阶群是交换群。（ ）。1.25 4阶群一定是交换群。（ ）1.26 4阶群一定是循环群。（ ）1.27 循环群一定是交换群。（ ）1.28 设G是群，a, bG, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。（ ）1.29 14阶交换群一定是循环群。（ ）1.30 如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （ ）1.31 有理数加群Q是循环群。（ ）1.32 若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。 （ ）2.3 子群、不

9、变子群。1.33 若H是群G的一个非空子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（ ）1.34 若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（ ）1.35 循环群的子群也是循环群。（ ）1.36 如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（ ）1.37 一个阶是11的群只有两个子群。 （ ）1.38 有限群中每个元素的阶都整除群的阶。（ ）1.39 设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。 （ ）1.40 若G是60阶群,则G有14阶子群。( )1.41 设G是60 阶群，则G有40阶子群。 （ ）1.42 阶为100的群一定含25阶元。（ ）

10、1.43 阶为100的群一定含25阶子群。（ ）1.44 阶为81的群G中，一定含有3阶元。 （ ）1.45 设H是群G的一个非空子集，则。 （ ）1.46 设H是群G的一个非空子集，则。 （ ）1.47 群的子群是不变子群的充要条件为。 （ ）1.48 群的一个子群元素个数与的每一个左陪集的个数相等. （ ）1.49 指数为2的子群不是不变子群。（ ）1.50 若NH,HG，则NG。( )1.51 若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,则N是G的不变子群。( )1.52 设HG，KG，则HKG。（ ）1.53 若NN，HG那么NHG。（ ） 2.4 商群、群的同态定理。1.54 群之间的

11、同态关系是等价关系。（ ）1.55 循环群的商群是循环群。（ ）1.56 设f：是群到群的同态满射，a，则a与f (a)的阶相同。（ ）1.57 设G是有限群，HG， 则。（ ）1.58 若是群G到的同态满射，N是G的一个不变子群，则（N）是的不变子群，且 。 ( )1.59 设f 是群G到群的同态映射，HG，则 f(H) 。 （ ）1.60 设f 是群G到群的同态映射， HG 则 f(H)。 （ ）1.61 若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且。1.62 若是群G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示的原象,则()是G不变子群,且。( )1.63 设G和

12、都是群，, , N=()，则NG,且。（ ）2 填空题：2.1 在群G中，a，bG，a 2 = e，a1ba = b2，则|b| =_。2.2 在交换群G中，a，bG，|a| = 8，|b| = 3，则|a2 b | =_。2.3 设a是群G的元,a的阶为6，则a4的阶为_。2.4 设a是群G中的一个8阶元,则a的阶为_。2.5 设G是交换群，a、bG, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_。2.6 群AG中有_个1阶元。2.7 在S5中，4阶元的个数为_。2.8 在S4中，3阶元的个数为_。2.9 设为群，若，则_。2.10 设群G=e，a1，a2，an-1，运算为乘法，e为G的单位元，

13、则a1n =_.2.11 若a,b是交换群G中的5阶元和72阶元, 则ab的阶为_。2.12 在整数加群Z中， =_。2.13 10阶交换群G的所有子群的个数是_。2.14 阶数最小的非交换群的阶数是_。一个有限非可换群至少含有_个元素.2.15 任意群G一定同构于G的一个_。2.16 n次对称群Sn的阶是_。2.17 9-置换分解为互不相交的循环之积是_。2.18 n阶有限群G一定_置换群。2.19 每一个有限群都与一个_群同构。2.20 已知为上的元素，则_。2.21 给出一个5-循环置换，那么_。2.22 在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=_.2.23 在4次对称群S4中，（24）（231）_ ，（4321）1_，（132）的阶为_。2.24 在6次对称群S中,(1235)(36)=_。2.25 (2431)=_