三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换 |
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三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换
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三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换
0 引言
有一个小需求是要实现鼠标拖动球体的转动，然后发现我不再能只用欧拉角来糊弄过去了。然后又发现，网上大部分资料的采用的欧拉角顺规都是xyz，然后我基于D3D11的辣鸡框架用了zxy，公式不太能直接套用，于是摸了两三天鱼，整理了一下几种三维旋转表示（欧拉角，四元数，旋转矩阵，轴角）与他们之间的相互转换的资料，并且加入了自己的一些推导，给出这些转换公式的推导思路和细节，这样子如果各位想使用其他欧拉角顺规和定义的时候，自己动手算一算就好了。 至于这几种三维旋转的表示形式随手百度Google都可以看到很多科普文的，这里着重说一下他们之间的转换的细节吧（不少公式和推导，预警一波，如果有错误请指出~）
图：下文介绍的几种转换路径
1.1 欧拉角 ----> 旋转矩阵 D3D和OpenGL不同，用的坐标系是Y轴竖直向上的左手系，所以欧拉角的顺规是跟广大blog、OpenGL不一样的，那么博客上、甚至维基百科[2]上的各种基于右手系xyz顺规(分别对应roll, pitch,yaw)的看起来就不太能随随便便直接用了。 首先欧拉角旋转序列(Euler Angle Rotational Sequence)一共有12种顺规，6种绕三条轴的旋转(也叫Tait-Bryan Angle，XYZ,XZY,YXZ,YZX,ZXY,ZYX)，另外6种只绕两条轴的旋转(也叫Proper Euler Angle，XYX,YXY,XZX,ZXZ,YZY,ZYZ)。如果相邻两次旋转是绕同一条轴，例如XXY，那么其实可以坍缩成XY。那么只绕一条轴旋转就根本不够自由度就不需要说了。也就是说，一共有12种基础旋转的组合顺序，它们可以旋转出三维的所有旋转状态。所以一共是12种旋转顺规（可以表示所有旋转的集合），DirectXMath库采用的是ZXY顺规，分别对应着Z-Roll，X-Pitch，Y-Yaw。
图：欧拉旋转与Yaw-Pitch-Roll的直观意义（网图魔改） 注意：那么下文我们都采用ZXY顺规来推导公式！采用列主向量(column major)！(但是注意DirectXMath API生成的矩阵其实是行主向量(row major)的) 参考一下维基百科的 [3]Euler Angle Euler angles - Wikipediaen.wikipedia.org/wiki/Euler_angles [4]Rotation Matrix Rotation matrix - Wikipediaen.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix 欧拉角构造旋转矩阵就直接把三个Elemental Rotation Matrix乘在一起就好了（LaTeX扣得真累orz）：
这里要提一嘴内旋(intrinsic rotation)和外旋(extrinsic rotation)：内旋的每个elemental绕的是object space basis的轴，外旋的每个elemental rotation绕的是world space（惯性系）basis的轴。上面的矩阵之所以是这么个顺序，是因为： 采用了ZXY顺规 采用列主向量 采用外旋的约定（毕竟在图形学里常用euler angle去表示物体相对于惯性系的旋转姿态）
在这规定下，上面的矩阵就是先roll Z，再pitch X，再yaw Y。
图：其实可以不用自己推的，维基百科把12种顺规乘出来的矩阵都写出来了 . 1.2 旋转矩阵----> 欧拉角 参考一篇NASA的关于姿态描述的技术报告[1]的Appendix-A6和[5]，我们可以用旋转矩阵元素的相乘、相除、反三角函数等操作去“凑”出欧拉角。[5]给出了从XYZ顺规提取欧拉角的方法、步骤、思路，[1]则给出了全部12种顺规的欧拉角提取公式，但是没有给一些细节注意事项。所以总结一下，根据[1]、[5]、[7]《Real Time Rendering 3rd Edition》4.2.2和自己的推导，从ZXY顺规旋转矩阵提取欧拉角的公式是（[1]原文下标似乎有点小问题）： 
. 从旋转矩阵提取欧拉角的公式跟欧拉角顺规的选取有关，因为旋转矩阵的元素会略有不同，但是思路都是一样的，就是根据旋转矩阵的解析表达式+反三角函数凑出来23333。 2 四元数(Quaternion)与旋转矩阵2.1 四元数---->旋转矩阵
. 2.2 旋转矩阵---->四元数
3.1 欧拉角---->四元数
Conversion between quaternions and Euler anglesen.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles#Euler_Angles_to_Quaternion_Conversion
https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770019231.pdfntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770019231.pdf
. 3.2 四元数---->欧拉角 本来我以为，从四元数提取欧拉角的思路可以跟旋转矩阵提取欧拉角类似，也是用四元数的元素运算和反三角函数凑出公式来。后来我发现这简直就是一个极其硬核的任务，展开之后每一项都是六次多项式，画面有一丢暴力且少儿不宜，直接强行凑的话画风大概是这样：
这个结果跟欧拉角参数化的旋转矩阵的 4.1 轴角---->四元数
. 4.2 轴角---->旋转矩阵 Axis Angle转Rotation Matrix可以从[9]罗德里格斯旋转公式Rodrigues Rotation Formula开始推导。 https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formulaen.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula Rodrigues’ rotation formula Rodrigues’ rotation formulaen.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula
这个公式的推导思路是这样子的，我们先对向量 v 进行正交分解，分解成投影到旋转轴 k 的分量和垂直于 k 的分量：
图：魔性p图，假设k和v都在屏幕这个平面上吧
Cross product - Wikipediaen.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Conversion_to_matrix_multiplication 于是罗德里格斯旋转公式的变换就可以写成矩阵形式：
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的表达式是吻合的。但这还只是最好凑的那一个，惹不起惹不起。所以舒服的思路还是四元数–>旋转矩阵–>欧拉角，想一步到位的话，把四元数分量参数化的旋转矩阵、欧拉角参数化的旋转矩阵结合在一起，参考下旋转矩阵转欧拉角的方法，替换下元素就完事了。这里就不把公式展开了，因为四元数直接转欧拉角 跟 旋转矩阵转欧拉角一样，依旧是要处理gimbal lock的corner case，还是那么麻烦，所以这里先鸽了23333
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