【连载】机械制图（八）轴测图

2023-12-02 08:41| 来源: 网络整理| 查看: 265

一．正等测图的形成

现以正立方体为例来说明正等测图的形成过程，如图9-3所示：

1．把正立方体放置在水平面上，并使正立方体的前面平行于正面（轴测投影面）。当投影光线垂直正面投射时，正立方体的投影是个正方形（图9一3a）。它只能反映正立方体一个面的形状，因而没有立体感。

2．如果将正立方体从图9一3a所示的位置，按箭头所指的方向绕一铅垂轴旋转45°后，再进行投影，所得正立方体的投影是两个相连的长方形（图9一3b）。因为它只反映了正立方体两个面的形状，所以立体感也不强。

3．如果再把正立方体从图9一3b所示的位置绕一侧垂轴向前旋转，使它的对角线OA垂直于正面（图9一3c），则正立方体的前面、侧面和顶面都与轴测投影面倾斜相同的角度。此时，正立方体在轴测投影面上的投影就呈现三个相连的菱形。因为在一个投影面中同时反映出正立方体互相垂直的三个面的形状，所以投影就具有较好的立体感，这就是正立方体的正等测图。

图9-3 正等测图的形成

图9-4 正等测的轴测轴和轴间角

为了更清楚地说明正等测图的形成和特点，我们把正立方体上的0点作为直角坐标系的原点（图9一4），并假设过0点的三个棱边为X、Y、Z三个坐标轴。这三个坐标轴必与正立方体的对角线OA构成相等的角度。当OA垂直于轴测投影面时，则X、Y、Z与轴测投影面倾斜的角度都相等。因此，只要物体上三个互相垂直的坐标轴与轴测投影面倾斜相同的角度，就可得到正等测图。

二、正等测图的投影特性

正等测图实际上也是正投影图。因此，它具有正投影的一般性质，如直线的投影一般仍为直线，平行直线的投影仍互相平行等。但是，要正确地绘制正等测图，还须了解它的另外三个特性：

1．物体上的三个坐标轴的轴测投影叫做轴测轴，在正等测投影中，由于三个坐标轴OX、OY和OZ与轴测投影面倾斜相同的角度（约为35o），所以它们的轴测投影O1X1、O1Y1、O1Z1就一定按相同的比例缩短，缩短后的长度与原长的比值（即O1X1/OX、O1Y1/OY、O1Z1/OZ），叫轴向缩短系数，约为0.82。物体上凡与坐标轴平行的直线，其轴测投影也必与相应的轴测轴平行，长度均应缩短为原长的0.82倍。

2．在轴测图上轴测轴之间的夹角（∠X1O1Z1、∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1）叫做轴间角（图9-4）。在正等测图中三个轴间角相等，都是120o，画图时须先画出。

3．物体上凡不平行于轴测投影面的平面，其轴测图都变形，例如，正多边形变成了斜多边行，圆变成了椭圆。

三、正等测图的基本画法

根据上述正等测投影的特性，可以画出长方块的正等测图，如图9-5所示。

为作图简便，常把正等测图的轴向缩短系数简化为1，也就是零件上凡是平行于坐标轴的直线，在轴测图上都按实际尺寸画出，不在缩短。图9-6所示的轴测图就是按简化的缩短系数画出的。它比用缩短系数0.82画出的轴测图放大了1.22倍。

图9-5 长方体正等测图的画图步骤

（a）定坐标轴（b）作轴测轴（c）取长方体长度、宽度的0.82倍画出长方体的底面（d）从底面四个顶点画平行z1轴的四条棱线，取其高度的0.82倍（e）连起长方体的顶面（f）描深看得见的轮廓线

图9-6 按简化系数画图

图9-7 正六棱柱的正等测图的画法

通过上述两个形体的正等测图的画图过程看出，画轴测图时，先在物体视图上选定适当的坐标原点及坐标轴，并在图纸上画出相应的轴测轴，然后把物体上的某些点，根据视图中给出的坐标，确定它们在轴测坐标系中的位置，进而画出物体上某些线和面，并逐步完成全图。这种画法叫做坐标定点法，是绘制轴测图的一种基本方法。下面所举的几个例题都是按照这种方法画出来的。

四．圆的正等测图

多数物体上都有圆和圆弧形结构，而这些圆多数又平行于某两个坐标轴所决定的坐标面。这里主要介绍平行于各坐标面的圆在轴测图上的画法。

假设在正立方体的三个面上，各有一个直径为d的内切圆如图9-8所示。这三个圆都与轴测投影面倾斜相同的角度，因此各圆的正等测投影均为形状相同的椭圆，并且也都内切于三个相同的菱形。根据它们的几何关系，可以推断出各椭圆在轴测投影中的三个特点：

图9-8 圆的正等测投影

图9-9 椭圆的长、短轴的方向

1．椭圆长、短轴的方向（图9-9）

平行于X1-Y1面的椭圆，其长轴垂直于Z1轴；平行于X1-Z1面的椭圆，其长轴垂直于Y1轴；平行于Z1-Y1面的椭圆，其长轴垂直于X1轴。椭圆的长轴与短轴垂直。

2．椭圆长、短轴的大小

椭圆长轴是圆上平行于轴测投影面的那条直径的投影（见图9-8中11 2 2），长度就等于圆的直径d。经几何计算，椭圆短轴的长度等于0 .58d。

3．一对共轭直径

在正立方体各个面上的圆中分别平行于两个坐标轴的一对直径称为共轭直径，在轴测投影图中仍平行于轴测投影轴，其长度为0.82d(如图9-8中的a1b1、c1d1)。在轴测图上，常以这两条直径作为画椭圆的定位线。画椭圆时，先把它们画出。采用简化缩短系数画椭圆时，上述数据均扩大到1.22倍（图9-10）。

图9-10 图增大1.22倍

知道了椭圆长、短轴的方向和大小，就可以按图9-10的方法画出椭圆。但这种画法比较麻烦，一般常用“四心法”近似地画椭圆。具体作图方法见图9-11。其中图9-11a 过O点作轴测轴AB、CD、EF，作水平线与AB垂直，就是椭圆长轴方向，以O为圆心，以d为直径画一个圆。图9-11b分别以A、B为圆心，AD或BC为半径画两个大弧，与AB相交于H和G。图9-11c以O为圆心，OG为半径，作弧与椭圆长轴交于I和II。图9-11d连图IB，并延长交大圆弧于K（两圆弧切点）。以I、II两点为圆心，IK为半径，作弧把两个大圆弧连接起来。

图9-11 正等测图中椭圆的近似画法

图9-12 凸轮的正等测图的画法

9-12示出了用“四心法”绘制凸轮的正等测图。其中图9-12a定出坐标轴。图9-12b过各圆心画出轴测轴。图9-12c由前向后画出各图。图9-12d描深可见轮廓线。

五．圆柱、圆锥、圆球及圆环的正等测图

物体上经常遇到柱、锥、球、环等基本体，它们的轴测投影图的画法及要点如表9-1所示。图中各例都按简化缩短系数画出。

表9-1 基本几何体正等测图的画法

六．物体上平板圆角的画法

物体底板、凸台、凸缘部分的转角处，常做成圆角，如图9-13a所示。在轴测图上，圆角可按图9-13b所示的方法绘制，R弧在轴测图上均为椭圆的一段，左边圆角可用大圆弧r1画；右边圆角可用小圆弧r2画，其中图9-13c是简便画法。在平板的圆角上各量R值得切点，并自该点作各边的垂直线，它们相交得A、B两点，A、B两点就是r1、 r2的圆心，垂直线长度就是、r1或 r2。

图9-13 平板圆角轴测图的画法

七．正等测图画法综合示例

[例1] 根据视图画出切割体的正等测图如图9—14所示。

由于弯管各节圆柱斜口的倾角相同，如果把各节圆柱一反一正叠置在一起，恰好构成一完整的圆柱管[图8-11（a）]，其展开图为一矩形。因此可以先画出首节（或尾节）的展开图，再以它为样板，画出其余几节的展开图[图8-10（b）和图8-11（b）]。这样可使画图简单、排料合理、下料方便（注意每节圆柱要留有切割余量）。

图9-14 切割体正等测图的画法

（a）定坐标位置（b）画轴测轴及长方体的底面（c）画出长方体（d）切去前上倾斜部分（e）画出前中央凹槽（f）描深

[例2] 根据视图画出支架的正等测图如图9—15所示。

图9-15组合体正等测图的画法

（a）定坐标圆点（b）画坐标轴（c）画底板和圆柱（d）画圆孔（e）描深

第三节斜二等轴测投影图（简称斜二测图）

一．斜二测图的形成及投影特性

当物体上的两个坐标轴OX和OZ与轴测投影面平行，而投影方向与轴测投影面倾斜时，所得到的轴测图就是斜二测图，如图9—16。制图标准中推荐的一种斜二测图，OX与OZ的轴向缩短系数都是1，OY轴的轴向缩短系数是0.5。轴间角为：∠X1O1Z1=90o，∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=135o（图9—17）。

斜二测图中X1 ——Z1面平行于轴测投影面，凡是平行于这个坐标面的图形，其轴测投影反映实形，如图9—17中正立方体的前面仍是正方形，这是斜二测图的一个突出的特点。利用这一特点画单方向形状较复杂的物体，可使其轴测图简单易画（参看图9—20）。

图9-16 斜二测图的形成

图9-17 斜二测图的轴间角及轴向缩短系数

二、圆的斜二测图

在斜二测图中，平行于X1-Z1面的圆的投影仍为圆，平行于X1—Y1 及 Y1—Z1面的圆的投影为椭圆，如图9—18所示。该椭圆的长轴约为1.06d, 短轴约为0.35d；短轴与相应的轴测轴约成7o角相交，长轴与轴测轴不再垂直。图9—19是上述椭圆的近似画法。其中，图9-19a过O1点作轴测轴O1X1、O1Y1和O1Z1，以O1为圆心、原来的圆直径为直径画一个圆，与Z1轴、X1轴分别相交于A、B、C、D等点。图9-19b作直线MN与AB倾斜7o，MN就是椭圆的长轴方向，作直线I II垂直于MN。在I II延长线上截取I1=IO1、 II2=IIO1得1、2两点。连接1A、2B与MN相交，得3、4两点。图9-19c 以1、2为圆心，以1A、2B为半径分别作弧，然后以3、4为圆心，3A、4B 为半径分别画弧，即连成椭圆。

图9-18 投影为椭圆

图9-19 斜二测图椭圆的画法

三、斜二测图的画法

[例1]画圆盘的斜二测图（图9—20）。

图9-20斜二测图的画法示例（一）

（a）定出坐标轴（b）画出轴测轴（c）由前向后画出各个圆（d）画小圆孔、描深

[例2] 画支架的斜二测图（图9—21）。

图9-21斜二测图的画法示例（二）

（a）定出坐标圆点和坐标轴（b）作轴测轴（c）画支架前端面形状（d）画支架厚度（e）画出肋板（f）描可见轮廓线 [OT_page]

第四节曲面立体正二测图的画法

正二轴测投影有很多种。要画它们的圆的正二测图，可根据投影椭圆的长、短轴系数画出各坐标面上的椭圆。图9-22为正二测图的轴测轴及其画法。

图9-22 正二测图的轴测轴及其画法

图9-23 标准正二测各坐标面上的椭圆

表9-2

图9-23所示为标准正二测各坐标面上的椭圆的长短轴方向和大小。图中两种形式的椭圆，可用表9-2所示的近似方法绘制。

Y1O1Z1坐标面上的椭圆画法与X1O1Y1坐标面上的相同，关键是定出长、短轴的方向。

例1 根据切割体的正投影图，画出它的标准正二测图，作图步骤见图9-24。

例2 根据支架的正投影图，画出它的标准正二测图。其作图步骤如图9-25所示。

图9-24切割体的标准正二测图

（a）定坐标轴（b）画坐标轴（c）以物体的长、宽、高画一长方体（d）切去右上部分

（e）切去左边中央部分（f）切去底槽、描深

图9-25支架的标准正二测图

（a）定坐标轴（b）画坐标轴（c）画底板（d）画半圆柱（e）画槽及小圆孔（f）画圆角、描深[OT_page]

第五节平面立体的透视图画法

平面立体是由平面围成的，因此绘制平面立体的透视，就可归结为绘制构成立体的各表面的透视，而立体的各表面又是由直线段围成，所以说平面立体的透视，实质上是绘制立体上的主要线、主要点的透视。

一．一点透视

若物体上有两个主向与画面平行，我们即可用一点透视法画出其透视图。

图 10-25 前端面不在画面上的台阶一点透视

图 10-26 建筑形体一点透视

由上述作图过程可知，竖直棱线AB、CD长度相同且与画面平行、等距，其透视长度A0B0与C0D0长度也相同。画面上的直线A10B10和C10D10分别为AB、CD的实长，虽然三角形s，A10B10与三角形s，C10D10是两个不同的三角形，但B0D0与基线平行，因而确定的透视长度A0B0与C0D0相等。利用这一特性，在作透视图时，可将画面上的真高线平移到任何适当的位置，以便作图。

二．两点透视

当物体上X、Y两个主向不与画面平行时，则物体上各个立面与画面不平行而成一定角度，因而所画出的透视图称为成角透视。又因为X、Y方向的直线在透视中都具有灭点，故又称为两点透视。

图 10-27 视线法画房屋的两点的透视图

作两点透视时，通常采用视线法或量点法。采用视线法作图时，原平面图一般是放在所画透视图的上方。图10-27就是采用视线法画的透视图，其作图步骤如下：

由于墙角线AB在画面上，可从基线OX向上直接定出AB线的透视A0B0，然后分别连接A0FX、B0FX、A0FY、B0FY，得B0D0、A0C0、B0F0、A0E0的全透视。B0D0、A0C0、B0F0、A0E0的长度可用视线法定出。

四条屋檐线与画面相交，过屋檐线的画面迹点与FX或FY相连，即画出屋檐线的全透视，屋檐线的端点也用视线法定出。

为求屋檐线的透视，将屋檐线延长与画面相交，过其画面迹点作出真高线，用视线法定出屋脊线的端点，并与上屋檐线的两端点连接，完成房屋的透视图。

图 10-28 量点法作建筑形体的两点透视

图10-28为用量点法作出的建筑形体透视图。如图中所示，定出X、Y方向的灭点FX、FY和量点MX、MY。因A点在画面上，故在基线OX上直接定出A0。自A0沿基线向右量取诸点的实际尺寸定出11、21、、31各点；自A0沿基线向左量取实际尺寸定出b1、c1两点。然后分别与MX或MY连接，各连线与FXa0、FYa0相交得10、20、30、40、b0、c0各点。在过A0点的画面直线上定出真高，并将各透视点与相应灭点连接，完成形体的透视图。

三．透视图的选择

随着视点、画面与建筑物相互位置的变化，将会产生形状各异、大小不同的透视图。为使透视图更符合人们的视觉，更能表现建筑物的特征，就需要进一步研究视点、画面与物体的位置关系。

1．视点与视角、视距的关系

（1）视锥

用眼睛凝视前方景象时所能看到的范围，也就是从瞳孔这一中心点放射出去的无数视线所笼罩的空间范围成锥形。这个以瞳孔为顶点的锥形范围称为视锥。锥的轴线就是主视线，它与画面垂直，与画面的交点即为心点。视锥的水平视角，最大范围为140°左右；垂直视角，上倾最大约45°，下俯最大约60°，如图10-29所示。然而人眼的清晰视野是较小的，其水平视角一般在28°～37°范围内。

图 10-29 视野

（2）站点与水平视角、视距的关系

图 10-30 站点与水平视角的关系

图 10-31 心点的位置

若建筑物与画面的位置已确定，则站点的选择控制水平视角。如图10-30所示，在站点S1观察时，视角为30°左右，透视图的消失缓慢，图形平稳，真实效果好；在站点S2观察时，视角约45°，所画透视图消失较快，效果尚可；在站点S3观察时，视角约65°，所画透视图消失急剧，图形变大，效果不良。所以站点的选择要尽可能使水平视角保持在19°～50°，最佳范围为27°～38°，一般情况取30°左右。

当画面位置确定之后，视角的大小可由视距（视点到画面的距离）决定，见图3-7中的D1、D2、D3，若以L表示画面宽大，见图3-7中的L1、L2、L3。绘制透视图时，一般取D=（1.5～2）L。

站点的选择除考虑水平视角的大小外，还应考虑心点的位置。由于视觉形象在视野中，心点附近的范围最为清晰和逼真，因而画透视图时，通常把心点位置取在形体上需要突出表现的部位。视轴不一定等分视角，即可取不相等的左视角与右视角，见图10-31所示。一般地，心点的位置应当取在画幅宽度的中间三分之一范围内，透视的视觉效果较好。

3）视高的选择

一般情况下，可取人的眼睛的高度，即1.6米左右（注意按房屋图的比例量度）。也可根据不同的需要，将视点升高或降低。若视点升高，可得俯视效果，若视点降低，可得仰视效果。读者可比较图10-32中画出的三个透视图。

图10-32 视高的效果

2．画面位置的选择

绘制室内布置、庭院、长廊和街景的透视图，一般选用一点透视，此时，形体的主要立面布置成与画面平行。

图10-33 画面与主立面夹角变化的不同效果

图10-34 全面显示和突出主体

两点透视图形符合人们的视觉习惯，因此多数情况下选用两点透视，此时，形体的主要立面应布置成与画面倾斜。为了获得良好的透视形象，一般情况下，使画面与建筑形体主立面的夹角为30°左右，但有时为了更突出主立面，夹角可取小些，如20°～25°左右；假如主立面和侧立面都要兼顾，则夹角可取大些，如35°～45°。图10-33表示了画面与主立面夹角变化时的不同效果。

除考虑主立面与画面的夹角大小外，还应根据建筑物的特点，考虑从哪个方向观察建筑物效果最好。特别是当建筑物不对称时，更要考虑把建筑物的主要部分，如大门或层次较高的主体布置成靠近观察者，读者可比较图10-34中的两个透视图。

第六节轴测图中剖视图的画法

在轴测图中，为表示物体的内部结构形状，也可以假想用剖切平面将物体切去一部分，画成轴测剖视图。

一、轴测剖视图的剖切方法

为了使机件的内外形状都表达清楚，可假想用两个或三个平行于坐标面的相交剖切平面，将机件的一部分剖去，如图9-29所示。也可采用一个平行于坐标面的剖切平面剖开机件，这时为了保留外形，一般不把前面部分全部拿走，采用如图9-30所示局部剖的形式。如果需要全部剖开，一定要将切去部分向前移出一段距离，仍需把它画出来。根据需要，也可采用如图9-31所示的多个平行的剖切平面剖切，或如图9-32所示的多个不与坐标平面平行的剖切平面进行剖切。