第10章矩阵位移法

复习思考题

1．矩阵位移法的基本思路是什么？

答：矩阵位移法的基本思路：

（1）单元分析

单元分析是指将结构先分解为有限个较小的单元，即离散化，在较小的范围内分析单元的内力与位移之间的关系，建立单元刚度矩阵或单元柔度矩阵。

（2）整体分析

整体分析将将单元分析中的各单元集合成原来的结构，要求各单元满足原结构的几何条件（包括支承条件、结点处的变形连续条件）和平衡条件，建立整个结构的刚度方程或柔度方程，以求解原结构的内力和位移。

（3）支承条件

引入支承条件，修改结构原始刚度方程。

（4）求解

解算结构刚度方程，求出结点位移，计算各单元杆端力。

2．试述矩阵位移法与传统位移法的异同。

答：矩阵位移法与传统位移法的异同点：

（1）相同点

传统位移法的基本原理，是以在小变形的基础的结构体系中，内力是可以叠加的，位移也是可以叠加的，而矩阵位移法是按传统位移法的基本原理运用矩阵计算内力和位移的方法。因此矩阵位移法和传统位移法的基本原理在实质上是一致的。

（2）不同点

①矩阵位移法中一般考虑杆件轴向变形的影响，传统位移法忽略杆件的轴向变形；

②矩阵位移法一般在计算机上进行计算，可以解决大型复杂问题；传统位移法的计算手段一般是手算，只用来解决简单问题。

3．矩阵位移法中，杆端力、杆端位移和结点力、结点位移的正负号是如何规定的？

答：杆端力沿局部坐标系的、的正方向为正，杆端弯矩逆时针为正；杆端位移的正负同杆端力和弯矩。结点力沿整体坐标系x、y的正方向为正，结点力偶逆时针为正；结点位移的正负同结点力和力偶。

4．为何用矩阵位移法分析时，要建立两种坐标系？

答：因为单元刚度矩阵是建立在杆件的局部坐标系上的，但对于整体结构，各单元的局部坐标系可能不尽相同，在研究结构的几何条件和平衡条件时，需要选定一个统一的坐标系即为整体坐标系，另外按局部坐标系建立的单元刚度矩阵可以通过坐标转换到整体坐标系中，从而得到整体坐标系中的单元刚度矩阵。故建立两种坐标系使矩阵位移法的思路更清晰，物理意义更明确，且不会影响计算结果。

5．什么叫单元刚度矩阵？其每一元素的物理意义是什么？

答：（1）单元刚度矩阵是指杆端位移列向量到杆端力列向量的过渡矩阵。

（2）元素的物理意义：当其所在列对应的杆端位移分量等于1（其余杆端位移分量均为零）时，所引起的其所在行对应的杆端力分量的数值。

6．结构的总刚度方程的物理意义是什么？总刚度矩阵的形成有何规律？其每一元素的物理意义是什么？

答：（1）结构总刚方程的物理意义：尚未进行支承条件处理的表示所有结点外力与结点位移之间的关系的平衡方程。

（2）总刚矩阵的形成规律：把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码逐一送到结构原始刚度矩阵中相应的行和列的位置上去，就可得到结构原始刚度矩阵，即各单刚子块“对号入座”。

（3）每一元素的物理意义：当其所在列对应的结点位移分量等于1（其余结点位移分量均为零）时，其所在行对应的结点外力分量所应有的数值。

7．能否用结构的原始刚度方程求解结点位移？

答：不能用结构的原始刚度方程求解结点位移。原因如下：

因为原始刚度方程尚未考虑支撑条件，结构还可以有任意的刚体位移，因而原始刚度矩阵是奇异的，其逆矩阵不存在，故不能用原始刚度方程求解结点位移。

8．矩阵位移法计算中，引入支承条件的目的是什么？

答：矩阵位移法计算中，引入支撑条件的目的是得到结构的刚度方程，即位移法的典型方程，从而可以求解出未知的结点位移和结构未知的内力。

9．什么叫等效结点荷载？如何求得？等效是指什么效果相等？

答：（1）等效结点荷载是指非结点载荷作用单元时结点的固端力的反方向力。

（2）等效结点荷载的求解步骤：

①与位移法一样，加上附加链杆和刚臂阻止所有结点的线位移和角位移，此时各单元有固端杆端力（简称固端力），附加链杆和刚臂上有附加反力和反力偶。由结点平衡可知，这些附加反力和反力偶的数值等于汇交于该结点的各固端力的代数和；

②取消附加链杆和刚臂，将上述附加反力和反力偶反号后作为荷载加于结点上，这些荷载就是原非结点荷载的等效结点荷载。

（3）等效是指结构在非结点载荷和等效结点载荷作用下的结点位移是相等的。

10．能否用矩阵位移法（以及传统位移法）计算静定结构？它与计算超静定结构有何不同？

答：（1）能用矩阵位移法（以及传统位移法）计算静定结构。

（2）与计算超静定结构时的不同点：

矩阵位移法在计算超静定结构时对于是否考虑受弯杆的轴向变形对计算结果的误差有一定的影响，而在计算静定结构时则不需要考虑这种情况带来的结果的波动。

习题

10-1 图10-1的单元若j端为铰结（即＝0），试写出其单元刚度矩阵。

图10-1（题10-1）

解：将j 端改为铰接，则

，则第六行第六列元素均为零，则可以忽略它们，故列

出5×5的单元刚度矩阵如下

也可以将其写成6×6阶的矩阵，其中对应于e j M 的第六行和对应于e

j 的第六列均为零元素。

10 试对图示刚架的结点和单元进行编号，并以子块形式写出结构的原始刚度矩阵。

图10-2（题10）

图10-3

解：结构的原始刚度矩阵随结点、单元编号不同而异，例如对于图10-3所示编号，可写出原始刚度矩阵如下

第七章 矩阵位移法 一、是非题 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。 6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。 7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 ? 8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 二、选择题 1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 — 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：

第八章 矩阵位移法 – 老八校 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 ( )

二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 12 3l l 4 l 5EI 2EI EA (0,0,0) (0,0,1) (0,2,3) (0,0,0) (0,2,4)(0,0,0) EI 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 l 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 l l 1 3 4 2 A , I A A /222A I , 2A 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵 [][]K K 22 24 ,。 [][]k k 1112 [][] k k 2122 [] k = i i i i i 单刚分块形式为 ：

第七章 矩阵位移法 一、就是非题 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性与奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 就是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。 6、结 构 刚 度 矩 阵 就是 对 称 矩 阵 ,即 有K i j = K j i ,这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。 7、结构刚度方程矩阵形式为:[]{}{}K P ?=,它就是整个结构所应满足的变形条件。 8、在直接刚度法的先处理法中,定位向量的物理意义就是变形连续条件与位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数与。 10、矩阵位移法中,等效结点荷载的“等效原则”就是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构,也能计算静定结构。 二、选择题 1、已知图示刚架各杆EI = 常数,当只考虑弯曲变形,且各杆单元类型相同时,采用先处理法进行结点位移编号,其正确编号就是: (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?,就其性质而言,就是: A.非对称、奇异矩阵; B.对称、奇异矩阵; C.对称、非奇异矩阵; D.非对称、非奇异矩阵。 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比: A.完全相同; B.第2、3、5、6行(列)等值异号;

结构力学自测题（第八单元） 矩阵位移法 姓名 学号 一、是 非 题（将 判 断 结 果 填 入 括 弧 ：以 O 表 示 正 确 ，以 X 表 示 错 误 ） 1、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。 ( ) 2、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有 K ij = K ji ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。 () 3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 元 素 K EI l 113 24=/ 。 ( ) EI l l EI 212 x y M , θ 附： ????? ?????????? ?????????? ???? ?--- -----l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA 460260612061200000260460 6120612000002 22323222323 4、在 任 意 荷 载 作 用 下 ，刚 架 中 任 一 单 元 由 于 杆 端 位 移 所 引 起 的 杆 端 力 计 算 公 式 为 ：{} [][]{}F T K e e e =δ 。 ( ) 二、选 择 题 （ 将 选 中 答 案 的 字 母 填 入 括 弧 内 ） 1、已 知 图 示 刚 架 各杆 EI = 常 数，当 只 考 虑 弯 曲 变 形 ，且 各 杆 单 元 类 型 相 同 时 ，采 用 先 处 理 法 进 行 结 点 位 移 编 号 ，其 正 确 编 号 是 ： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0) (1,2,0) (0,0,0) (0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0) (1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0) (0,3,4) A. B. C. D. 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x y M , θ ( ) 2、平 面 杆 件 结 构 一 般 情 况 下 的 单 元 刚 度 矩 阵 []k 66?， 就 其 性 质 而 言 ，是 ： ( ) A ．非 对 称 、奇 异 矩 阵 ； B ．对 称 、奇 异 矩 阵 ； C ．对 称 、非 奇 异 矩 阵 ； D ．非 对 称 、非 奇 异 矩 阵 。 3、单 元 i j 在 图 示 两 种 坐 标 系 中 的 刚 度 矩 阵 相 比 ： A ． 完 全 相 同 ； B ． 第 2、3、5、6 行 (列 ) 等 值 异 号 ； C ． 第 2、5 行 (列 )等 值 异 号 ； D ． 第 3、6 行 (列 ) 等 值 异 号 。 ( ) i j y x i j y x M , θ M , θ 4、矩 阵 位 移 法 中 ，结 构 的 原 始 刚 度 方 程 是 表 示 下 列 两 组 量 值 之 间 的 相 互 关 系 ： ( ) A ．杆 端 力 与 结 点 位 移 ； B ．杆 端 力 与 结 点 力 ； C ．结 点 力 与 结 点 位 移 ； D ．结 点 位 移 与 杆 端 力 。 5、单 元 刚 度 矩 阵 中 元 素 k ij 的 物 理 意 义 是 ： A ．当 且 仅 当 δi =1 时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力 ； B ．当 且 仅 当 δj =1时 引 起 的 与 δi 相 应 的 杆 端 力 ； C ．当 δj =1时 引 起 的 δi 相 应 的 杆 端 力 ； D ．当 δi =1时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力。 () 6、用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁 时 ，结 点 3 的 综 合 结 点 荷 载 是 ： A ．[]-ql ql 2 12 T 132 ； B ．[]ql ql 2132 12T -； C ．[]--ql ql 2112 12T ； D ．[]ql ql 2112 12T 。 ( ) 123 l /2 l l ql 2 q 4 ql l /2 x y M , θ 7、用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 结 构 时 ，已 求 得 1 端 由 杆 端 位 移 引 起 的 杆 端 力 为 {}[] T F 461--=，则 结 点 1 处 的 竖 向 反 力 Y 1 等 于 ： A ．6-； B ．-10； C ．10 ； D ．14 。 ( ) 2m 4m 12 3 M 1 Y 20kN/m 1 x y M , θ 三、填 充 题 （ 将 答 案 写 在 空 格 内） 1、图 示 桁 架 结 构 刚 度 矩 阵 有 个 元 素 ，其 数 值 等 于 。 2m 3m 3m A B C D EA EA EA x y M , θ 2、图 示 刚 架 用 两 种 方 式 进 行 结 点 编 号 ，结 构 刚 度 矩 阵 最 大 带 宽 较 小 的 是 图 。 3 5 641 2 7 1 2345 6 7 (a) (b) 3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 主 元 素 K K 1122== , 。 l l 2EI EI 1 2 x y M , θ 四、图 a 、b 所 示 两 结 构 ，各 杆 EI 、l 相 同 ，不 计 轴 向 变 形 ， 已 求 得 图 b 所 示 结 构 的 结 点 位 移 列 阵 为 {}?=-???? ? ?ql EI ql REI ql EI 34396192192 T 。试 求 图 a 所 示 结 构 中 单 元 ① 的 杆 端 力 列 阵。 q 1 2 3 4(a) ql 2 ② ③ ① 1 2 34 (b) ② ③ ① x y M , θ 五、图 a 所 示 结 构 (整 体 坐 标 见 图 b )，图 中 圆 括 号 内 数 码 为 结 点 定 位 向 量 (力 和 位 移 均 按 水 平 、竖 直 、转 动

第八章 矩阵位移法 1、(O) 2、(X) 3、(O) 4、(X) 5、(X) 6、(O) 7、(O) 8、(X) 9、(O) 10、(O) 11、(A) 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234x y M , θ( )

二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 123l l 4l l 5EI 2EI EA (0,0,0) (0,0,1) (0,2,3) (0,0,0) (0,2,4)(0,0,0) x y M , θ EI 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 l (0,0,1) (0,5,0) (2,3,4) l ① ② 123x y M , θ 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 l l l 1 3 4 2A , I A A /222A I , 2A x y M , θ 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵 [][]K K 22 24 ,。 3 12① ② ③ [][]k k 1112 [][] k k 2122 [] k = i i i i i 单刚分块形式为 ： 4x y M , θ

第9章 矩阵位移法 习 题 9-1：请给图示结构编号（同时用先处理法和后处理法）及建立坐标。 题9-1图 9-2：求图示连续梁的整体刚度矩阵。 题9-2图 9-3：求图示刚架的整体刚度矩阵。 （c ） （e ）

题9-3图 9-4：求图示组合结构的整体刚度矩阵。 题9-4图 9-5：求图示桁架结构的整体刚度矩阵，所有杆件的EA 均相同。 题9-5图 9-6：求图示排架结构的整体刚度矩阵。 题9-6图 9-7：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。 1kN/m

题9-7图 9-8：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。 题9-8图 9-9：求图示结构的等效结点荷载。 题9-9图 9-10：求出图示结构的荷载列阵。 题9-10图 9-11：求出图示结构的荷载列阵，请分别用先处理法和后处理法进行编号。 q q

题9-11图 9-12：求图示结构的荷载列阵，考虑轴向变形。 题9-12图 9-13：求图示结构的荷载列阵。 题9-13图 9-14：图示连续梁中间支座发生了下向的移动a ，请求出其整体刚度方程。 题9-14图 10kN/m q

9-15：请求出图示连续梁的整体刚度方程。 题9-15图 9-16：求图示连续梁的整体刚度矩阵。 题9-16图 9-17：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。杆件的EI 、EA 相同。 题9-17图 9-18：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。 题9-18图 9-19：图示结构发生了支座移动，请画出结构的内力图。 00

第八章 矩阵位移法 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 ( )

二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 12 3l l 4 l 5EI 2EI EA (0,0,0) (0,0,1) (0,2,3) (0,0,0) (0,2,4)(0,0,0) EI 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 l 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 l l 1 3 4 2 A , I A A /222A I , 2A 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵 [][]K K 22 24 ,。 [][]k k 1112 [][] k k 2122 [] k = i i i i i 单刚分块形式为 ：

第十二章 矩阵位移法 【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。分别用位移法和矩阵位移法计算。 图12-1 解：（1）位移法解 ?基本未知量和基本结构的确定 用位移法解的基本结构如图c 所示。这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。 ?位移法基本方程的建立 ?? ? ?? =+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式

?? ??? ?????=??????????+??????????θθθ?? ????????0003213213332 31 232221131211P P P R R R K K K K K K K K K ?系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图） 由图d ，结点力矩平衡条件 ∑=0M ，得 EI K 411=，l EI K 221=，031=K 由图e ，结点力矩平衡条件 ∑=0M ，得 l EI K 212=，l EI l EI l EI K 84422=+=，l EI K 232= 由图f ，结点力矩平衡条件 ∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，l EI EI EI K 84433=+= 由图g ，结点力矩平衡条件 ∑=0M ，得 81Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R 将系数项和自由项代入位移法基本方程，得 ??? ???????=??????????--+?? ??? ?????θθθ??????????0000118820282024321Pl l EI ?解方程，得?? ????????-= ?? ? ?? ?????θθθ14114162321EI Pl ?由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。 （2）矩阵位移法解 ?对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。若用后处理法原始结构刚度阵为44?阶；用先处理法结构刚度阵为33?阶（已知角位移04=θ）。下面采用先处理法来说明矩阵位移法计算过程。 单元标准形式为（图b ） )(e k ?? ????=?? ?? ??????=)()()()() (4224e jj e ji e ij e ii e k k k k l EI l EI l EI l EI

第十章 矩阵位移法 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 ( ) 二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 12 3l l 4 l 5EI 2EI EA (0,0,0) (0,0,1) (0,2,3) (0,0,0) (0,2,4)(0,0,0) EI

13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 l ,0) 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 l l 1 3 4 2A , I A A /222A I , 2A 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵[][]K K 2224,。 [][]k k 1112 [][] k k 2122 [] k = i i i i i 单刚分块形式为 ： 16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵 []K 中的元素,,7877K K EA ＝常数。,cos α=C ,sin α=S ,C C A ?= S S D S C B ?=?=,，各杆EA 相同。 l [] k EA l i = A B A B D B D A B D -i i ---对称 17、计算图示刚架结构刚度矩阵中的元素8811,K K （只考虑弯曲变形）。设各层高度为h ，各跨长度为l h l 5.0,=，各杆EI 为常数。

第八章 矩阵位移法 – 老八校 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： 二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵 [][]K K 22 24 ,。 16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵[]K 中的元素,,7877K K EA ＝常数。 ,cos α=C ,sin α=S ,C C A ?= S S D S C B ?=?=,，各杆EA 相同。

矩阵位移法编程大作业 姓名： 学号：

一、编程原理 本程序的原理是基于结构力学矩阵位移法原理，以结构结点位移作基本未知量，将要分析的结构拆成已知节点力—结点力位移关系的单跨梁集合，通过强令结构发生待定的基本未知位移，在各个单跨梁受力分析结果的基础上通过保证结构平衡建立位移法的线性方程组，从而求得基本未知量。 二、程序说明 本程序是计算10个节间距的悬索-拱组合体系主塔顶节点水平位移、主塔底截面弯矩、拱顶节点竖向位移、拱顶截面弯矩和轴力的程序。首先将各杆件的交汇点作为结点，共有20个结点，51个位移，然后根据不同结构单元分别建立单元刚度矩阵，然后转换为整体坐标系下的刚度矩阵，然后将所有杆件的单元刚度矩阵整合成为总体刚度矩阵，在进行整合时连续运用for函数，最终形成51阶的总体刚度矩阵。然后通过对荷载的分析确定出荷载矩阵，直接写进程序。这样就可以把20个结点的51个位移求得，然后再利用各个单元的单元刚度矩阵和所得的位移求得单元杆件的内力。

三、算法流程 建立各单位在局部结构离散化编号进行单元分析坐标系下的单位刚度方程 确定各单位在总体将单元刚度矩阵集合确定综合结点坐标系下的 单元矩阵方程成总体刚度矩阵点荷载矩阵 建立方程利用杆件单元刚度矩阵输出结果 求解位移和所求位移求内力 结束 四、源代码 L=input('输入单节间L：'); EIc=input('主塔的抗弯刚度EIc:'); EAc=input('主塔的抗压刚度EAc:'); EAb=input('悬索和斜索的抗拉刚度EAb:'); EAt=input('吊杆的抗拉刚度EAt:'); EIa=input('拱的抗弯刚度EIa:'); EAa=input('拱的抗压刚度EAa:'); q=input('拱上沿轴向均布荷载集度q:'); T1=[0,1,0,0,0,0; -1,0,0,0,0,0; 0,0,1,0,0,0; 0,0,0,0,1,0; 0,0,0,-1,0,0; 0,0,0,0,0,1;];%主塔的转换矩阵

1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 第八章 矩阵位移法 – 老八校 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： 二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵[][]K K 2224 ,。 16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵[]K 中的元素,,7877K K EA ＝常数。,cos α=C ,sin α=S ,C C A ?= S S D S C B ?=?=,，各杆EA 相同。

第七章 矩阵位移法 一、是非题 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。 6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。 7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 二、选择题 1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比： A ．完全相同； B ．第2、3、5、6行(列)等值异号； C ．第2、5行(列)等值异号； D ．第3、6行(列)等值异号。 4、矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系： A ．杆端力与结点位移； B ．杆端力与结点力； C ．结点力与结点位移； D ．结点位移与杆端力 。 5、单 元 刚 度 矩 阵 中 元 素 k ij 的 物 理 意 义 是 ： A ．当 且 仅 当 δi =1 时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力 ； B ．当 且 仅 当 δj =1时 引 起 的 与 δi 相 应 的 杆 端 力 ； C ．当 δj =1时 引 起 的 δi 相 应 的 杆 端 力 ； D ．当 δi =1时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力。 三、填充题 1、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。

第九章 矩阵位移法 【练习题】 9-1 是非题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。 6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。 7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 9-2 选择题： 1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比： A ．完全相同； B ．第2、3、5、6行(列)等值异号； C ．第2、5行(列)等值异号； D ．第3、6行(列)等值异号。

第十二章 矩阵位移法 【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。分别用位移法和矩阵位移法计算。 图12-1 解：（1）位移法解 ?基本未知量和基本结构的确定 用位移法解的基本结构如图c 所示。这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。 ?位移法基本方程的建立 ?? ? ?? =+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式

?? ??? ?????=??????????+??????????θθθ?? ????????0003213213332 31 2322 21131211P P P R R R K K K K K K K K K ?系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图） 由图d ，结点力矩平衡条件 ∑=0M ，得 l EI K 411=，l EI K 221=，031=K 由图e ，结点力矩平衡条件 ∑=0M ，得 l EI K 212=，l EI l EI EI K 84422=+=，l EI K 232= 由图f ，结点力矩平衡条件 ∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，l EI l EI l EI K 84433=+= 由图g ，结点力矩平衡条件 ∑=0M ，得 1Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R 将系数项和自由项代入位移法基本方程，得 ??? ???????=??????????--+?? ??? ?????θθθ??????????0000118820282024321Pl l EI ?解方程，得?? ????????-= ?? ? ?? ?????θθθ14114162321EI Pl ?由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。 （2）矩阵位移法解 ?对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。若用后处理法原始结构刚度阵为44?阶；用先处理法结构刚度阵为33?阶（已知角位移04=θ）。下面采用先处理法来说明矩阵位移法计算过程。 单元标准形式为（图b ） )(e k ?? ????=?? ?? ??????=)()()()() (4224e jj e ji e ij e ii e k k k k l EI l EI l EI l EI

第七章 矩阵位移法（参考答案） 四、 1、[]K i i i i i i i i i =??????? ? ??4202224122223333(+) 4(+) 0 2、[]K i i i i i i i =???????? ????? ?840012216612 0 对称，i EI l =/ 3、{}P ql ql ql ql =--???????????? ??2222242524248//// 4、 {}[]T ql ql pl pl M P 12/)12/8/()8/(22-+-+= 5、 42.88 51.40 90 (kN m).M 6、R ql B =↑067857.() 7、? ???? ?? ???-=??????????? ?3320392422821θθi i i i ? ??? ??=? ?????3 9821121i θθ () () ? ?????-=? ??????? ????-=? ?? ???01249826221121M M M M 8、[]K 2221636003600=???? ? ? ? 6104 9、[]K i l i l i l i i i i EI l =-??????? ? ??? ?= 366622/// 12 4对称，式中： 10、 (0,0) (1,2)(0,3) (0,0) ① ② ③ {}P =--?-??????? ?? ? ? kN 5kN m 16kN m 2 11、 {}[]T P 0 34 7-=

12、 {} {} {} {} δ δ① ② ① ② =-?????????????? ? ???=-?????????? ????? ???=-?????????? ???? ? ???=---??????????????? ??? , , , 005120512000525252525252525233l EI l EI F F 13、i K l EI i i K l EA k k l i K 4,/,12,/,/361333222====+= 14、K EA l EI l K EI l K 223342 151260=+==//,/, 15、[][][][][][]K K K K K K 2222 22222421=++=①②③③ , 16、[][][][][][][][]K K K K K K K K =+++?? ???? ? ???22 2221 12112222①③③ ③③②④ 17、 []?? ? ???=336l EI K 18、 (0,0,0) 统一编码如图: ① ② ③ (1,0,4)63(0,0,0)1(1,0,2)4(1,0,3)5(0,0,0)2 19、k k k k k k 2211 122122 22①②② ② ②③++?? ??? ? ?? 20、 21、{}?? ??? ?????-=2kN.m 12kN 2kN 3E P 22、{}P ql ql ql 2E 24=--???????? ??//222 23、P ql P ql P ql 13242 24===-,/, [] 4 0 4 0 0 4 6- 0 0 1222 3??? ????????? ??????????? ???? ??+=l EI l EI l EI l EI l EI l EA K []K =???? ?????? ?106120 30032403003004

结构力学(二)第二次作业题（2009.2） (第2章：影响线及其应用、第3章：矩阵位移法) 一、 是非判断题(每小题3分，共30分) 将判断结果填入题后的括弧内，以″√″表示正确，以″×″表示错误。 1、矩阵位移法既可计算静定结构，又可计算超静定结构。( ) 2图示结构，单位荷载在AB 区间移动，绘M C 影响线时，是以AB 为基线绘制的。( ) 3、单元刚度矩阵是单元固有的特性，与坐标选取无关无关。( ) 4、原荷载与对应的等效结点荷载产生相同的内力和变形。( ) 5、平面刚架单元在局部坐标系中的杆端力也就是杆端截面的轴力、剪力和弯矩。( ) 6、结构刚度方程[]{}{}K P ?=表示结点的变形和平衡条件。( ) 7、改变单元局部坐标系的方向，单元定位向量{}λ不改变，[]K 改变。( ) 8、简支梁的弯矩包络图为活载作用下各截面最大弯矩的连线。( ) 9、结构刚度矩阵与结点编号的顺序有关，与单元编号顺序无关。( ) 10、用先处理法计算图示刚架，其未知量数目为13。( ) 二、 填空题(每小题3分，共30分) 将正确答案填入题中的空格内。 1、 矩阵位移法分析结构包含两个基本步骡,其一是＿＿＿＿分析,其二是＿＿＿＿分 析。 2、 图示结构，F=1在AD 移动，M C 影响线在D 点的纵标为＿＿＿＿。

3、 单元刚度矩阵中的元素ij k 是表示第＿＿个位移分量为单位位移时产生的＿＿＿。 4、 单元刚度矩阵[]() e k 中的第ｉ列元素分别表示当＿＿为单位位移时产生的＿＿＿。 5、 单元坐标转换矩阵[]T 为正交矩阵，其逆矩阵[]1 T -等于＿＿＿＿＿＿。 6、 己知某单元的定位向量为[]T 1098654，则单元刚度系数K 24应叠加到结构刚度 矩阵的元素＿＿＿＿中去。 7、 将非结点荷载转化为等效结点荷载，等效的原则是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 8、 图示连续梁的结构刚度矩阵中的元素K 31=＿＿,K 22=＿＿＿＿。 9、 图示刚架，若考虑轴向变形，用先处理法计算，其结构刚度矩阵[]K 是＿＿阶方阵。 10、 图示结构，考虑各杆的轴向变形，若用先处理法计算，则在结构刚度矩阵[] K 中至少有＿＿个零元素。 三、 单项选择题(每小题3分，共15分) 选出一个正确答案，将其编号填入题中的括号内。 1、 单元刚度矩阵所表示的是( )两组物理量之间的关系。 A. 杆端位移与结点位移 B. 杆端力与结点荷载 C. 结点荷载与结点位移 D. 杆端力与杆端位移 2、图示结构M K 、V K 的影响线在B 处的值为 ( ) A.0,0 B.2ｍ,1 C.-4ｍ,1 D.4ｍ,0

下题是桁架结构： 其中，F p =1,试求各杆的轴力 clear [ length1,theta1,T1 ] = Geometry( 1,0, 1,1) % 由结点坐标求六个单元几何信息 [ length2,theta2,T2 ] = Geometry( 0,0, 1,0) [ length3,theta3,T3 ] = Geometry( 0,0, 0,1) [ length4,theta4,T4 ] = Geometry( 0,1, 1,1) [ length5,theta5,T5 ] = Geometry( 1,0, 0,1) [ length6,theta6,T6 ] = Geometry( 0,0, 1,1) g1=[1 2 3 4] % 六个单元定位向量 g2=[0 0 1 2] g3=[0 0 0 0] g4=[0 0 3 4] g5=[1 2 0 0] g6=[0 0 3 4] E=1;A=1; % 材料信息 k1=LocalElementStiff(E,A,length1) % 局部单刚 k2=LocalElementStiff(E,A,length2) k3=LocalElementStiff(E,A,length3) k4=LocalElementStiff(E,A,length4) k5=LocalElementStiff(E,A,length5) k6=LocalElementStiff(E,A,length6) K1=T1'*k1*T1 % 整体单刚 K2=T2'*k2*T2 K3=T3'*k3*T3 （6） 3 2 1 4

K4=T4'*k4*T4 K5=T5'*k5*T5 K6=T6'*k6*T6 GK=zeros(4) % 由六个单元和相应定位向量聚集总刚GK=ElementAssemble1(GK,K1,g1) GK=ElementAssemble1(GK,K2,g2) GK=ElementAssemble1(GK,K3,g3) GK=ElementAssemble1(GK,K4,g4) GK=ElementAssemble1(GK,K5,g5) GK=ElementAssemble1(GK,K6,g6) P=[1 0 0 1]' % 荷载信息 U=GK\P % 求解方程 U1=ElementDisp(U,g1) % 定位向量提取六个单元的结点位移 U2=ElementDisp(U,g2) U3=ElementDisp(U,g3) U4=ElementDisp(U,g4) U5=ElementDisp(U,g5) U6=ElementDisp(U,g6) f1=k1*T1*U1 % 求局部坐标下的单元杆端内力 f2=k2*T2*U2 f3=k3*T3*U3 f4=k4*T4*U4 f5=k5*T5*U5 f6=k6*T6*U6