前置定理 1　矩阵方程 A X = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b} AX=b 有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(A,B)。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

前置性质 2　 R ( A T ) = R ( A ) R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{A}) R(AT)=R(A)。

证明见 “矩阵的秩的性质”。

前置定理 3　设 m × n m \times n m×n 矩阵 A \boldsymbol{A} A 的秩 R ( A ) = r R(\boldsymbol{A}) = r R(A)=r，则 n n n 元齐次线性方程组 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 的解集 S S S 的秩 R S = n − r R_S = n - r RS​=n−r。

证明见 “齐次线性方程组系数矩阵的秩与解集的秩”。

前置定理 4　矩阵 A = O \boldsymbol{A} = \boldsymbol{O} A=O 的充分必要条件是方阵 A T A = O \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{O} ATA=O。

证明见 “【证明】矩阵A=O的充要条件是方阵A^TA=O”。

性质 1　 R ( A B ) ≤ min ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } R(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \le \min \{R(\boldsymbol{A}),R(\boldsymbol{B})\} R(AB)≤min{R(A),R(B)}。

证明　设 A B = C \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} AB=C，则知矩阵方程 A X = C \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{C} AX=C 有解 X = B \boldsymbol{X} = \boldsymbol{B} X=B。根据前置定理 1 有 R ( A ) = R ( A , C ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}) R(A)=R(A,C)，从而有 R ( C ) ≤ R ( A , C ) R(\boldsymbol{C}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{C}) R(C)≤R(A,C)，进而有 R ( C ) ≤ R ( A ) R(\boldsymbol{C}) \le R(\boldsymbol{A}) R(C)≤R(A)。

又 B T A T = C T \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{C}^T BTAT=CT，同理可证 R ( C T ) ≤ R ( B T ) R(\boldsymbol{C}^T) \le R(\boldsymbol{B}^T) R(CT)≤R(BT)，根据前置性质 2，有 R ( C ) ≤ R ( B ) R(\boldsymbol{C}) \le R(\boldsymbol{B}) R(C)≤R(B)。

综上所述， R ( C ) ≤ min ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } R(\boldsymbol{C}) \le \min \{R(\boldsymbol{A}),R(\boldsymbol{B})\} R(C)≤min{R(A),R(B)}，得证。

定理 2　若 A m × n B n × l = O \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{B}_{n \times l} = \boldsymbol{O} Am×n​Bn×l​=O，则 R ( A ) + R ( B ) ≤ n R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B}) \le n R(A)+R(B)≤n。

证明　记 B = ( b 1 , b 2 , ⋯   , b l ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) B=(b1​,b2​,⋯,bl​)，则 A ( b 1 , b 2 , ⋯   , b l ) = ( 0 , 0 , ⋯   , 0 ) \boldsymbol{A} (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) = (\boldsymbol{0},\boldsymbol{0},\cdots,\boldsymbol{0}) A(b1​,b2​,⋯,bl​)=(0,0,⋯,0) 即 A b i = 0   ( i = 1 , 2 , ⋯   , l ) \boldsymbol{A} \boldsymbol{b}_i = \boldsymbol{0} \ (i=1,2,\cdots,l) Abi​=0 (i=1,2,⋯,l) 表明矩阵 B \boldsymbol{B} B 的 l l l 个列向量都是齐次方程 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 的解。记方程 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 的解集为 S S S，由 b i ∈ S \boldsymbol{b}_i \in S bi​∈S，知有 R ( b 1 , b 2 , ⋯   , b l ) ≤ R S R(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) \le R_S R(b1​,b2​,⋯,bl​)≤RS​，即 R ( B ) ≤ R S R(\boldsymbol{B}) \le R_S R(B)≤RS​。因为根据前置定理 3，有 R ( A ) + R S = n R(\boldsymbol{A}) + R_S = n R(A)+RS​=n，所以 R ( A ) + R ( B ) ≤ n R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B}) \le n R(A)+R(B)≤n。

引理　若 n n n 元齐次线性方程组 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 与 B x = 0 \boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Bx=0 同解，则 R ( A ) = R ( B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) R(A)=R(B)。

证明　由于方程组 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 与 B x = 0 \boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Bx=0 有相同的解集，不妨将相同其设为 S S S。根据前置定理 3，有 R ( A ) = n − R S R(\boldsymbol{A}) = n - R_S R(A)=n−RS​， R ( B ) = n − R S R(\boldsymbol{B}) = n - R_S R(B)=n−RS​。因此 R ( A ) = R ( B ) R(A) = R(B) R(A)=R(B)。

根据引理，当矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 的列数相等时，要证 R ( A ) = R ( B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) R(A)=R(B)，只需证明齐次方程 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 与 B x = 0 \boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Bx=0 同解。

定理 3　 R ( A T A ) = R ( A ) R(\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A}) R(ATA)=R(A)。

证明　根据引理的结论，要证明 R ( A T A ) = R ( A ) R(\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A}) R(ATA)=R(A)，只需证明 ( A T A ) x = 0 (\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} (ATA)x=0 与 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 同解。

若 x \boldsymbol{x} x 满足 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0，则有 A T ( A x ) = 0 \boldsymbol{A}^T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0} AT(Ax)=0，即 ( A T A ) x = 0 (\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} (ATA)x=0。

若 x \boldsymbol{x} x 满足 ( A T A ) x = 0 (\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} (ATA)x=0，则有 x T ( A T A ) x = 0 \boldsymbol{x}^T (\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}) \boldsymbol{x} = 0 xT(ATA)x=0，即 ( A x ) T ( A x ) = 0 (\boldsymbol{A} \boldsymbol{x})^T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}) = 0 (Ax)T(Ax)=0。根据前置定理 4 可知， A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0 Ax=0。

因此，方程组 ( A T A ) x = 0 (\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} (ATA)x=0 与 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 同解，进而有 R ( A T A ) = R ( A ) R(\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A}) R(ATA)=R(A)。得证。