车辆路径规划问题(Vehicle Routing Problem，VRP)一般指的是：对一系列发货点和收货点，组织调用一定的车辆，安排适当的行车路线，使车辆有序地通过它们，在满足指定的约束条件下（例如：货物的需求量与发货量，交发货时间，车辆容量限制，行驶里程限制，行驶时间限制等），力争实现一定的目标（如车辆空驶总里程最短，运输总费用最低，车辆按一定时间到达，使用的车辆数最小等）。

下图给出了一个简单的VRP的例子

最基本的VRP问题叫做带容量约束的车辆路径规划问题（Capacitated Vehicle Routing Problem，CVRP）。在CVRP中，需要考虑每辆车的容量约束、车辆的路径约束和装载量约束

为了考虑配送时间要求，带时间窗的车辆路径规划问题（Vehicle Routing Problem with Time Window，VRPTW）应运而生。

VRPTW 不仅考虑CVRP的所有约束，还需要考虑时间窗约束，也就是每个顾客对应一个时间窗 [ e i , l i ] [e_i,l_i] [ei​,li​]，其中 e i e_i ei​ 和 l i l_i li​ 分别代表该点的最早到达时间和最晚到达时间。顾客点 i ∈ V i \in V i∈V 的需求必须要在其时间窗内被送达

VRPTW 已经被证明是 NP-hard 问题，其求解复杂度随着问题规模的增加而急剧增加，求解较为困难。到目前为止，求解 VRPTW 的比较高效的精确算法是分支定价算法和分支定价切割算法。

VRPTW 可以建模为一个混合整数规划问题，在给出完整数学模型之前，先引入下面的决策变量：

x i j k = { 1 ，在最优解中，弧 ( i , j ) 被车辆 k 选中 0 ，其他 s i k = 车辆 k 到达 i 的时间 模型中涉及的其他参数为 : t i j 表示车辆在弧 ( i , j ) 上的行驶时间 M 为一个足够大的正数 {x_{ijk}}=\begin{cases} 1\text{，在最优解中，弧}\left( i,j \right) \text{被车辆}k\text{选中}\\ 0\text{，其他}\\ \end{cases} \\ {s_{ik}}=\text{车辆}k\text{到达}i\text{的时间} \\ \text{模型中涉及的其他参数为}: \\ {t_{ij}}\text{表示车辆在弧}\left( i,j \right) \text{上的行驶时间} \\ M\text{为一个足够大的正数} xijk​={1，在最优解中，弧(i,j)被车辆k选中0，其他​sik​=车辆k到达i的时间模型中涉及的其他参数为:tij​表示车辆在弧(i,j)上的行驶时间M为一个足够大的正数

关于 M M M 的取值，实际上可以直接取非常大的正数，但是为了提高求解效率，拉紧约束。我们可以采用下面的取值方法：

M = m a x { b i + t i j − a j } , ∀ ( i , j ) ∈ A M=max\{b_i+t_{ij}-a_j\} , \forall (i,j)\in A M=max{bi​+tij​−aj​},∀(i,j)∈A

综合上面引出的决策变量，并参考文献（Desaulniers et al.，2006），给出的 VRPTW 的标准模型如下：

min ⁡ ∑ k ∈ K ∑ i ∈ V ∑ j ∈ V c i j x i j k s . t . ∑ k ∈ K ∑ j ∈ V x i j k = 1 , ∀ i ∈ C    ∑ j ∈ V x 0 j k = 1 , ∀ k ∈ K    ∑ i ∈ V x i h k − ∑ j ∈ V x h j k = 0 , ∀ h ∈ C , ∀ k ∈ K    ∑ i ∈ V x i , n + 1 , k = 1 , ∀ k ∈ K    ∑ i ∈ C q i ∑ j ∈ V x i j k ⩽ Q , ∀ k ∈ K    s i k + t i j − M ( 1 − x i j k ) ⩽ s j k    , ∀ ( i , j ) ∈ A , ∀ k ∈ K    e i ⩽ s i k ⩽ l i    , ∀ i ∈ V , ∀ k ∈ K    x i j k ∈ { 0 , 1 }    , ∀ ( i , j ) ∈ A , ∀ k ∈ K \min \sum_{k\in K}{\sum_{i\in V}{\sum_{j\in V}{{c_{ij}}{x_{ijk}}}}} \\ s.t. \sum_{k\in K}{\sum_{j\in V}{{x_{ijk}}=1 , \forall i\in C}} \\ \,\, \sum_{j\in V}{{x_{0jk}}=1 , \forall k\in K} \\ \,\, \sum_{i\in V}{{x_{ihk}}-\sum_{j\in V}{{x_{hjk}}=0 , \forall h\in C,\forall k\in K}} \\ \,\, \sum_{i\in V}{x_{i,n+1,k}=1 , \forall k\in K} \\ \,\, \sum_{i\in C}{q_i\sum_{j\in V}{{x_{ijk}} \leqslant Q , \forall k\in K}} \\ \,\, {s_{ik}}+{t_{ij}}-M\left( 1-{x_{ijk}} \right) \leqslant {s_{jk}}\,\,, \forall \left( i,j \right) \in A,\forall k\in K \\ \,\, e_i\leqslant {s_{ik}}\leqslant l_i\,\,, \forall i\in V,\forall k\in K \\ \,\, {x_{ijk}}\in \left\{ 0,1 \right\} \,\,, \forall \left( i,j \right) \in A,\forall k\in K mink∈K∑​i∈V∑​j∈V∑​cij​xijk​s.t.k∈K∑​j∈V∑​xijk​=1,∀i∈Cj∈V∑​x0jk​=1,∀k∈Ki∈V∑​xihk​−j∈V∑​xhjk​=0,∀h∈C,∀k∈Ki∈V∑​xi,n+1,k​=1,∀k∈Ki∈C∑​qi​j∈V∑​xijk​⩽Q,∀k∈Ksik​+tij​−M(1−xijk​)⩽sjk​,∀(i,j)∈A,∀k∈Kei​⩽sik​⩽li​,∀i∈V,∀k∈Kxijk​∈{0,1},∀(i,j)∈A,∀k∈K

其中， Q Q Q 为车容量， q i q_i qi​ 为第 i i i 个顾客的需求：

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注意，在下面代码中，将弧 i i i 到弧 j j j 所需的时间 t i j t_{ij} tij​ 和 成本 c i j c_{ij} cij​ 都当作了弧 i i i 到弧 j j j 所需的距离来看待