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数学模型 7.1 P233 目录 多属性决策 定义: 第一步:确定决策矩阵并标准化 1)确定决策矩阵: 2)决策矩阵标准化: 第二步:确定属性权重 第三步:综合方法 1)将决策矩阵模一化后的rij×属性权重wj,构成矩阵V 2)取出正理想解(由每列向量中最大元素构成),记为v+ 负理想解(由每列向量中最小元素构成),记为v- 3)计算方案Ai与正、负理想解的欧式距离: 4)定义方案Ai与正理想解的相对接近度 多属性决策 定义:方案的优劣由若干属性(如汽车的价格、性能、款式等因素)给以定量或定性的表述,而人们在若干备选方案中选出最优方案,或者对这些方案按照优劣程度排序,或者需要给出优劣程度的数量结果。 第一步:确定决策矩阵并标准化 1)确定决策矩阵:一个多属性决策问题有m个备选方案A1,A2,…,Am,n个属性X1,X2,...Xn,方案Ai对属性Xj的取值为dij。D=(dij)m*n称为原始决策矩阵。 汽车型号\属性X1价格(万元)X2性能(满分10分)X3款式(满分10分)A12597A21877A31255决策矩阵的获取有两种方法。 一种偏客观,直接通过量测或调查(偏客观);一种偏主观,由决策者或请专家评定。 2)决策矩阵标准化:由于通常各属性物理意义各不相同,在下一步分析前需将原始决策矩阵标准化。 首先,将各属性区分为效益型属性和费用性属性。 效益型属性:属性值越大,该属性对决策的重要程度越高。 费用型属性:属性值越大,该属性对决策的重要程度越小。 通常对费用性属性作变换,取原属性值的倒数,将全部属性统一为效益型。 之后,对原始决策矩阵D标准化,将标准化的决策矩阵定义为R。 标准化有以下三种方法: 归一化,R的列向量分量之和为1: 最大化,R的列向量最大值为1: 模一化,R的列向量的模为1: 信息熵法:一个信息量的(概率)分布越趋向一致,所提供信息的不确定越大,用熵作为衡量不确定的指标。在多属性决策中,将标准化决策矩阵R的各个列向量看作每个属性信息量的概率分布。按照Shannon对熵的定义,各方案关于属性Xj的熵为 熵值越大,代表信息不确定性越大(信息量概率分布越趋向一致),属性Xj对于辨别方案优劣的作用越小。 定义 为属性Xj的区分度。(Fj越大,Xj的区分度越大,属性Xj越重要) 将归一化的区分度取作属性Xj的权重wj,即 确定最优方案,或者各方案按照优劣排序的数量结果。 这里使用topsis法(接近理想解的偏好排序法)来对方案排序。 理论上的最优方案(称正理想解)由所有可能的加权最优属性值构成,最劣方案(称负理想解)由可能的加权最劣属性值构成。定义距正理想解尽可能近、距负理想解尽可能远的数量指标——相对接近度,备选方案的优劣顺序按照相对接近度的大小确定。 1)将决策矩阵模一化后的rij×属性权重wj,构成矩阵V(注意:这里用模一化的决策矩阵,以便在空间定义欧氏距离,但属性权重w中仍可使用归一化方法处理决策矩阵) 2)取出正理想解(由每列向量中最大元素构成),记为v+ 负理想解(由每列向量中最小元素构成),记为v- V_max=max(V,[],1); %正理想解,max函数参数3表示取每列的最大值 V_min=min(V,[],1); %负理想解,min函数参数3表示取每列的最小值 3)计算方案Ai与正理想解的欧式距离:与负理想解的欧式距离 : 之后对 完整代码如下: clc,clear d=[25 9 7; %每行为一个方案,每列为一种属性 18 7 7; 12 5 5]; m=size(d,1); %m种方案 n=size(d,2); %n种属性 %% 原始决策矩阵标准化 l=1; %费用型属性 d(:,l)=1./d(:,l);%将费用型属性变换为效益型 %归一化 r=d./sum(d,1); %sum函数参数2表示按照每列相加 %最大化 %r=d./max(d,[],1); %max函数参数3表示取每列的最大值 %模一化 rm=d./sum(d.^2,1).^0.5; %sum函数参数2表示按照每列相加 %% 属性权重的确定 E=(-1/log(m))*sum(r.*log(r),1); %E熵值,sum函数参数2表示按照每列相加 F=1-E; %F区分度 w=F/sum(F); %w各属性的权重 %% topsis法确定方案优劣顺序(决策矩阵需用模一化方法处理,但权重的确定仍可使用归一化等方法) V=rm.*w; V_max=max(V,[],1); %正理想解,max函数参数3表示取每列的最大值 V_min=min(V,[],1); %负理想解,min函数参数3表示取每列的最小值 S_plus=sum((V-V_max).^2,2).^0.5; %求各方案与正理想解的欧式距离,sum函数参数2表示按照每行相加 S_minus=sum((V-V_min).^2,2).^0.5; %求各方案与正理想解的欧式距离,sum函数参数2表示按照每行相加 C=S_minus./(S_plus+S_minus); %C,各方案与正理想解的相对接近度 C=C./sum(C,1); %C归一化处理 [Y,index]=sort(C,1,'descend'); %参数2按列排序,参数3降序,Y排序后的结果,对应index原矩阵下标 |
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