向量的模，方向角，投影

①模，两点间的距离公式 r ⃗ = ( x , y , z ) ∣ r ⃗ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 ∣ A B ∣ = ∣ A B ⃗ ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 \vec{r}=(x,y,z)\\ |\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ |AB|=|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} r =(x,y,z)∣r ∣=x2+y2+z2 ​∣AB∣=∣AB ∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2 ​ ②方向角和方向余弦

非零向量 r ⃗ \vec{r} r 与三条坐标轴的夹角 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ称为向量的方向角 c o s α = x ∣ O M ⃗ ∣ = x ∣ r ⃗ ∣ c o s β = y ∣ O M ⃗ ∣ = y ∣ r ⃗ ∣ c o s α = z ∣ O M ⃗ ∣ = z ∣ r ⃗ ∣ cos\alpha=\frac{x}{|\vec{OM}|}=\frac{x}{|\vec{r}|}\\ cos\beta=\frac{y}{|\vec{OM}|}=\frac{y}{|\vec{r}|}\\ cos\alpha=\frac{z}{|\vec{OM}|}=\frac{z}{|\vec{r}|}\\ cosα=∣OM ∣x​=∣r ∣x​cosβ=∣OM ∣y​=∣r ∣y​cosα=∣OM ∣z​=∣r ∣z​ ③向量在坐标轴上的投影

向量 r ⃗ \vec{r} r 在u轴上的投影记做 P r j u r ⃗ Prj_u\vec{r} Prju​r 或 ( r ⃗ ) u (\vec{r})_u (r )u​

性质： P r j u a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ c o s φ P r j u ( a ⃗ + b ⃗ ) = P r j u a ⃗ + P r j u b ⃗ Prj_u\vec{a}=|\vec{a}|cos\varphi\\ Prj_u(\vec{a}+\vec{b})=Prj_u\vec{a}+Prj_u\vec{b} Prju​a =∣a ∣cosφPrju​(a +b )=Prju​a +Prju​b 注：投影是一个数

易错点：平行的单位向量根据方向有两个