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闵可夫斯基距离 (Minkowski Distance)，也被称为 闵氏距离。它不仅仅是一种距离，而是将多个距离公式（曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离）总结成为的一个公式。

首先假设两个 n 维变量 A ( x 11 , x 12 , . . . , x 1 n ) A(x_{11},x_{12},...,x_{1n}) A(x11​,x12​,...,x1n​) 与 B ( x 21 , x 22 , . . . , x 2 n ) B(x_{21},x_{22},...,x_{2n}) B(x21​,x22​,...,x2n​)。

对于这两个 n 维变量，则有闵氏距离公式为： d 12 = ∑ k = 1 n ∣ x 1 k − x 2 k ∣ p p d_{12}=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} d12​=pk=1∑n​∣x1k​−x2k​∣p ​

乍一看，可能觉得这个公式很复杂，也觉得这个公式与前面说到的距离公式（曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离）没太大关联，但当我分解一下，就知道有什么关联了。

闵氏距离主要和它的参数 p p p 有关， p p p 值不同，公式也将不同。

① p = 1 p=1 p=1 时，闵氏距离 为 曼哈顿距离

d 12 = ∑ k = 1 n ∣ x 1 k − x 2 k ∣ p p = ∑ k = 1 n ∣ x 1 k − x 2 k ∣ \begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}| \end{aligned} d12​​=pk=1∑n​∣x1k​−x2k​∣p ​=k=1∑n​∣x1k​−x2k​∣​

② p = 2 p=2 p=2 时，闵氏距离 为 欧式距离

d 12 = ∑ k = 1 n ∣ x 1 k − x 2 k ∣ p p = ∑ k = 1 n ∣ x 1 k − x 2 k ∣ 2 = ∑ k = 1 n ( x 1 k − x 2 k ) 2 \begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sqrt{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^2}\\ &=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k})^2}\\ \end{aligned} d12​​=pk=1∑n​∣x1k​−x2k​∣p ​=k=1∑n​∣x1k​−x2k​∣2 ​=k=1∑n​(x1k​−x2k​)2 ​​

③ p = ∞ p=\infty p=∞ 时，闵氏距离 为 切比雪夫距离

d 12 = ∑ k = 1 n ∣ x 1 k − x 2 k ∣ p p = ∑ k = 1 n ∣ x 1 k − x 2 k ∣ ∞ ∞ = m a x ( ∣ x 1 i − x 2 i ∣ ) \begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sqrt[\infty]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^\infty}\\ &=max(|x_{1i}-x_{2i}|) \end{aligned} d12​​=pk=1∑n​∣x1k​−x2k​∣p ​=∞k=1∑n​∣x1k​−x2k​∣∞ ​=max(∣x1i​−x2i​∣)​

① 将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了;

例如：二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。

a与b的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的 10cm 并不能和体重的 10kg 划等号。

② 未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。