【算法】动态规划 |
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【算法】动态规划
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动归思想
商店中每种商品都有标价。例如，一朵花的价格是 2 元。一个花瓶的价格是 5 元。为了吸引顾客，商店提供了一组优惠商品价。优惠商品是把一种或多种商品分成一组，并降价销 售。例如，3 朵花的价格不是 6 元而是 5 元。2 个花瓶加 1 朵花的优惠价是 10 元。试设计一个算法，计算出某一顾客所购商品应付的最少费用。 对于给定欲购商品的价格和数量，以及优惠商品价，编程计算所购商品应付的最少费用。 数据输入：控制台的第 1 行中有 1 个整数 B(0≤B≤5)，表示所购商品种类数。接下来的 B 行，每行有 3 个数 C，K 和 P。C 表示商品的编码(每种商品有 唯一编码)，1≤C≤999。K 表示购买该种商品总数，1≤K≤5。P 是该种商品的正常单价(每件商品的价格)，1≤P≤999。请注意，一次最多可购买 5*5=25 件商品。 接来下输入 1 个整数 S(0≤S≤99)，表示 共有 S 种优惠商品组合。接下来的 S 行，每行的第一个数描述优惠商品组合中商品的种类数 j。接着是 j 个数字对(C，K)，其中 C 是商品编码，1≤C≤999。K 表示该种商品在此组合中的数量，1≤K≤5。每行最后一个数字 P(1≤ P≤9999)表示此商品组合的优惠价。 问题分析（关键）找出问题的规律，设cost（a,b,c,d,e）表示购买商品组合（a,b,c,d,e）需要的最少费用，A[k],B[k],C[k],D[k],E[k]表示第k种优惠方案的商品组合。offer(m)是第m种优惠方案的价格。如果cost(a,b,c,d,e)使用了第m种优惠方案，则找出最优子问题的递归表达式：cost(a,b,c,d,e)=cost(a-A[m],b-B[m],c-C[m],d-D[m],e-E[m])+offer(m)【★动态规划的步骤一★】 即该问题具有最有子结构性质，可以用动态规划算法来实现。 代码实现（解析见注释） import java.util.Scanner; class Commodity{ int piece;//购买数量 int price;//购买价格 } public class MinPrice { private static int MAXCODE = 999;//商品编码的最大值 private static int SALECOMB = 99;//优惠商品组合数 private static int KIND = 5; //商品种类 private static int QUANTITY = 5; //购买某种商品数量的最大值 private static int b;//购买商品种类数 private static int s;//当前优惠组合数 private static int[] num = new int[MAXCODE+1];//记录商品编码与商品种类的对应关系 private static int[] product = new int[KIND+1];//记录不同种类商品的购买数量 private static int[][] offer = new int[SALECOMB+1][KIND+1];//offer[i][j]: 商品组合的优惠价(j=0)；某种优惠组合中某种商品需要购买的数量(j>0) private static Commodity[] purch = new Commodity[KIND+1];//记录不同商品的购买数量和购买价格 private static int[][][][][] cost = new int[QUANTITY+1][QUANTITY+1][QUANTITY+1][QUANTITY+1][QUANTITY+1];//记录本次购买的总花费 private static void init(){ Scanner input = new Scanner(System.in); int i,j,n,p,t,code; //置0初始化 for(i=0; i code = input.nextInt(); purch[i].piece = input.nextInt(); purch[i].price = input.nextInt(); num[code] = i;//一个数组实现的哈希，目的是在O(1)的时间复杂度找到对用商品编码所在的数组下标 } s = input.nextInt(); for(i=1; i n = input.nextInt(); p = input.nextInt(); offer[i][num[n]] = p; } offer[i][0] = input.nextInt(); } } /** *用于确定对于b种商品，给定每种商品的购买量，其最小花费 *即确定子问题的最优解 */ private static void minicost(){ //已经购买1~5类商品的数量 int i,j,k,m,n; //找到对应优惠后的花费 int p; //最小花费 int minm = 0; //将最小花费初始化为没有优惠策略时的花费 for(i=1; i//i类商品 //确定一个子问题，计算一次当前最小花费 if(i > b){ minicost(); return; } for(int j=0; j System.out.println(cost[product[1]][product[2]][product[3]][product[4]][product[5]]); } public static void main(String[] args){ init(); comp(1);//从第一类商品开始 out(); } } comp函数用来递归调用mincost函数【★动态规划的步骤二★】，从而实现从最小规模的子问题逐步扩大到原问题（自底向上）【★动态规划的步骤三★】，利用子问题的最优值来得到问题的最优解。 分析补充分析下这个算法的核心代码 private static void comp(int i){//i类商品 //确定一个子问题，计算一次当前最小花费 if(i > b){ minicost(); return; } for(int j=0; j |
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