欧拉定理 & 费马小定理 |
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欧拉定理 & 费马小定理费马小定理定义 若 为素数,,则 。 另一个形式:对于任意整数 ,有 。 证明设一个质数为 ,我们取一个不为 倍数的数 。 构造一个序列:,这个序列有着这样一个性质: 证明: 又因为每一个 都是独一无二的,且 得证(每一个 都对应了一个 ) 设 , 则 证毕。 也可用归纳法证明: 显然 ,假设 成立,那么通过二项式定理有 因为 对于 成立,在模 意义下 ,那么 ,将 带入得 得证。 欧拉定理在了解欧拉定理(Euler's theorem)之前,请先了解 欧拉函数。定理内容如下: 定义若 ,则 。 证明实际上这个证明过程跟上文费马小定理的证明过程是非常相似的:构造一个与 互质的数列,再进行操作。 设 为模 意义下的一个简化剩余系,则 也为模 意义下的一个简化剩余系。所以 ,可约去 ,即得 。 当 为素数时,由于 ,代入欧拉定理可立即得到费马小定理。 扩展欧拉定理定义解释读者可能对第二行产生疑问,这一行表达的意思是:如果 的话,就不能降幂了。 主要是因为题目中 不会太大,而如果 ,自然复杂度是可以接受的。而如果 的话,复杂度可能就超出预期了,这个时候我们才需要降幂来降低复杂度。 证明直观理解需要知道的是,在 的条件下, 的取值范围一定在 ,而 ,那么对于任意一个数 ,那么很容易就能知道它的 后继,在有限的空间内这一定会形成一个循环。 在扩展欧拉定理中,循环分为纯循环和混循环。其中纯循环中不存在节点有两个前驱,而混循环则反之。而 形成的序列可以是一个混循环,那么只需要知道循环节的长度,和前面那一小段未进入循环节的长度,就可以根据这个性质来进行降幂了。 值得注意的是,无论是费马小定理,还是(扩展)欧拉定理,一个很重要的应用就是降幂,从而将不可能的表达式化为可能。 形式证明证明转载自 synapse7,并进行了一些整理。 命题: 的从 次, 次到 次幂模 构成的序列中,存在 和 ,使得前 个数(即从 到 )互不相同,从第 个数开始,每 个数就循环一次。 证明: 由鸽巢定理易证。 我们把 称为 幂次模 的循环起始点, 称为循环长度。(注意: 可以为 ) 用公式表述为: 命题: 为素数的情况,该式成立。 证明: 若模 不能被 整除,而因为 是一个素数,那么 成立,根据欧拉定理,容易证明该式成立。 若模 能被 整除,那么存在 和 使得 ,且 成立。所以根据欧拉定理有 。 又由于 ,所以根据欧拉函数的求值规则,容易得到:,即我们有:。 所以 ,即 ,两边同时乘以 ,得 (因为 ) 所以对于 中素因子 的次数 满足:。我们可以简单变换形式,得到 推论: 又由于 ,所以 (tips: 是素数,最小是 ,而 )。 所以因为 ,故有: 所以 即 。 命题: 为素数的幂的情况,该式成立。 证明: 不妨令 ,是否依然有 ? 答案是肯定的,由命题 1 可知存在 使得 ,所以 ,所以令 时,我们能有 。 此时有关系: 且 ,且 ,由 与 的关系,依然可以得到 。 命题: 为合数的情况,该式成立。 证明: 只证 拆成两个素数的幂的情况,大于两个的用数学归纳法可证。 设 ,其中 ,而 的循环长度为 ; 则 ,由于 ,那么 ,所以 ,; 由 与 的关系,依然可以得到 。 证毕。 习题SPOJ #4141 "Euler Totient Function"[Difficulty: CakeWalk]UVa #10179 "Irreducible Basic Fractions"[Difficulty: Easy]UVa #10299 "Relatives"[Difficulty: Easy]UVa #11327 "Enumerating Rational Numbers"[Difficulty: Medium]TIMUS #1673 "Admission to Exam"[Difficulty: High]本页面最近更新:2024/2/15 22:17:29,更新历史发现错误?想一起完善? 在 GitHub 上编辑此页!本页面贡献者:PeterlitsZo, Tiphereth-A, Acfboy, Dev-XYS, Enter-tainer, gi-b716, Great-designer, guodong2005, H-J-Granger, hjsjhn, hly1204, iamtwz, ImpleLee, Ir1d, MegaOwIer, Menci, mgt, qz-cqy, sshwy, stevebraveman, tth37, WineChord, Xeonacid, yuhuoji本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供,附加条款亦可能应用 |
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