对利率和贴现的理解 |
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对利率和贴现的理解
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Written with StackEdit by xhey. 考虑利率相关问题时首先应明确三点。第一是时间单位，一期是指一个月，一个季度，半年还是一年。通常以实际利率（effective interest rate）所对应的时间长度为一期；第二是观察点的选择，同样的现金流因为观察点的不同可能对其积累也可能对其折现，一般来说观察点不同得到的现值也不同；第三是收支平衡原则，在既定利率和时间段的情况下，在同一时点的支出和收入的价值应该相等。 其次要熟练运用等价转换思想。\(1\) 次的实际支付可以转化为 \(n\) 次的虚拟支付，\(n\) 次的实际支付可以转化为 \(1\) 次的虚拟支付。 最后一般需要用线段图来表示现金流，以便理解。 目录一、终（积累）值函数和现值函数二、利息率三、名义利率和实际利率四、贴现率五、名义贴现率和实际贴现率六、利息力七、小结 一、终（积累）值函数和现值函数终值函数（积累因子）：单位本金在第\(t\)期的积累值为\(a(t)\) \(a(0) = 1\) \(a(t)\)一般不减 \(a(t)\)一般连续现值函数（折现因子）：\(t\)期后的单位积累值在目前的现值\(v(t) = a^{-1}(t) = \frac {1}{a(t)}\) \(v(0) = 1\) \(v(t)\)一般不增 \(v(t)\)一般连续总量函数：\(A(0) = k，A(t) = A(0)a(t)，A(t) = ka(t)\) 二、利息率利息率就是单位本金每期产生的利息。 第\(t\)期的实际利率\(i_t = \frac {A(t) - A(t-1)}{A(t-1)} = \frac {a(t) - a(t-1)}{a(t-1)}\) \(A(t) = A(0)(1+i_1)(1+i_2) \ldots (1+i_t)\) 单利：\(a(t) = 1 + it\) \[i_t = \frac {a(t) - a( t - 1 )}{a(t - 1)} = \frac {i}{1 + i(t - 1)} \] 复利：\(a(t) = ( 1 + i )^t\) \[i_t = \frac {a(t) - a( t - 1 )}{a(t - 1)} = i \] 单利不会影响本金，而复利会使本金增加；单利在超过一期之后实际利率递减，而复利的实际利率是常数，因此在使用复利计算时结果与观察点的选择无关。在相同情况下复利的终值一定大于单利的终值吗? \[\begin{array}{ll} (1 + i)^t \gt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, t \gt 1 )\\ (1 + i)^t \lt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, 0 \lt t \lt 1 ) \end{array} \]三、名义利率和实际利率 一般情况下，若每期计息1次是为实际利率，每期计息2次及以上是为名义利率。 \(\frac 1m\)期实际利率的\(m\)倍称为每期计息\(m\)次的名义利率，记为\(i^{(m)}\)，因此\(\frac 1m\)期的实际利率为\(\frac{i^{(m)}}{m}\)，则 \[\bbox [5px, border:1px solid black] { 1+i = \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^m } \] 当\(m \to \infty\)时有，\(\lim \limits_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^m = e^{i^{(m)}} = 1+i \Rightarrow i^{(m)} = \log(1+i)\) 四、贴现率贴现是持票人以未到期票据向银行贴付一定利息兑取资金的行为。单位本金因这种提前兑取行为损失的利息就叫做贴现率。 小明有一张到期后可以收回10000块的票据。距到期日还有1年时，小明想将这张票据抵押给银行以换取现金，此时的贴现率为2.5%。对小明来说，他需要支付10000*2.5% = 250块的贴息，从银行拿到10000-250 = 9750块的现金。对银行来说，他现在需要支付给小明9750块，一年后收回10000块，这250块是利息，利息率为（10000-9750）/ 9750 = 2.56%. 第\(t\)期的实际贴现率\(d_t = \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t)} = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)}\) \(A(0) =A(t)(1-d_1)(1-d_2) \ldots (1-d_t)\) 单贴现：\(a(t) = (1-dt)^{-1}\) \[d_t = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)} = \frac{d}{1-d(t-1)} \] 复贴现：\(a(t) = (1-d)^{-t}\) \[d_t = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)} = d \] 与利息率相似的，单贴现不会影响终值，而复贴现会使终值减少；单贴现在超过一期之后实际贴现率递增，而复贴现的实际贴现率是常数，在使用复贴现率计算时结果也与观察点的选择无关。单贴现的现值一定比复贴现的现值高吗？ \[\begin{array}{ll} (1-d)^t \gt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1，t \gt 1)\\ (1-d)^t \lt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1，0 \lt t \lt 1) \end{array} \]五、名义贴现率和实际贴现率一般情况下，若每期贴息1次是为实际贴现率，每期贴息2次及以上是为名义贴现率。 \(\frac 1n\)期实际贴现率的\(n\)倍称为每期贴息\(n\)次的名义贴现率，记为\(d^{(n)}\)，因此\(\frac 1n\)期的实际贴现率为\(\frac{d^{(n)}}{n}\)，则 \[\bbox [5px, border:1px solid black] { 1 - d = \left(1 - \frac{d^{(n)}}{n} \right)^n } \] 当\(n \to \infty\)时有，\(\lim \limits_{n \to \infty} \left(1 - \frac{d^{(n)}}{n} \right)^n = e^{-d^{(n)}} = 1-d \Rightarrow d^{(n)} = \log(1-d)\) 六、利息力利息力\(\delta _t = \frac{A'(t)}{A(t)} = \frac{a'(t)}{a(t)} = \left( \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{A(t + \Delta t) - A(t)}{\Delta t} \right) / A(t) = \left( \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{a(t + \Delta t) - a(t)}{\Delta t} \right) / a(t)\) \(\delta_t\)反映了在时刻\(\mathbf t\)单位本金产生的利息，可以表示产生利息的强度。利息的产生受到了三个因素的影响——初值、时间长度、利息率。如果想要比较产生利息的强度，应该消除初值和时间的影响。在上式中导数消除了时间的影响，再除以\(A(t)\)就消除了初值的影响，因此利息力可以作为衡量利息产生强度的标准。 通过利息力我们可以估算终值：\(A(t_2) = A(t_1) \delta_{t_1} (t_2 - t_1)\)，其中\(\Delta t = t_2 - t_1\)越小越好。也可以计算终值： \[\begin{array}{rcl} \delta_t & = & \frac{A'(t)}{A(t)} \\[2ex] \delta_t & = & \frac{d}{dt} \log A(t)\\[2ex] \delta_t dt & = & d \log A(t)\\[2ex] \int_0^t \delta_s ds & = & \int_0^td \log A(s)\\[2ex] \log A(t)|_0^t & = & \int_0^t \delta_s ds\\[2ex] A(t) & = & A(0)e^{\int_0^t \delta_s ds}\\[2ex] a(t) & = & e^{\int_0^t \delta_s ds}\\[2ex] \end{array} \]将\(0，t\)分别替换为\(t_1，t_2\)可以得到下面这个推广的式子： \[A(t_2) = A(t_1)e^{\int_{t_1}^{t_2} \delta(s) ds} \]如果把\(t_1，t_2\)看作没有大小关系，那么上面的这些公式同样可以用来求现值。 当\(\delta\)不随时间变化时，我们有 \[\bbox [5px, border:1px solid black] { a(t) = (1+i)^t = e^{\delta t} = (1-d)^{-t} } \]七、小结 利息率、贴现率和利息力之间的关系 \[d \lt d^{(2)} \lt d^{(3)} \lt \cdots \lt \delta \lt \cdots \lt i^{(3)} \lt i^{(2)} \lt i \]用图像表示就是这个样子滴（\(i = 5\%\))
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