出chatgpt独享账号！内含120美元！仅需38元/个！独享永久使用！点击购买！ 质数

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。定义质数又称素数。

$$ 试除法判定质数就是从定义出发，除了1和它本身以外不再有其他因数 $$

$$ 我们可以从判断[2, n]中是否有它的因子 $$

$$ 我们没必要把所有[2, n]的数都进行判断，只需要判断到\sqrt{n}即可 $$

$$ 证明：假设a|n则 \frac{n}{a}|n,则min(\frac{n}{a}, a)|n $$

$$ 所以只需要遍历到满足a^2\sqrt{n}的大质因数的可能 $$

$$ 如 28=2^2 \times 7而 \sqrt{28}

$$ 实际上 28 / 2 ^ 2 = 7,此时 n 就是留下的大质因数本身 $$

$$ 可以证明这样的大质因数最多只有一个且次数唯一 $$

$$ 所以在循环之后判断一下n > 1即n是否除尽即可。 $$

$$ 枚举所有没被筛的数（这些数一定是质数），将这些数的倍数筛掉 $$

$$ 时间复杂度O(\log^{\log^{n}}) $$

$$ 我们知道用埃氏筛法有的数会被重复筛除，线性筛法的思想就是每个合数的最小质因子来筛除它。 $$

$$ 由于一个数的最小质因子，只有一个所以一个数最多只被筛一次，时间复杂度O(n) $$