2023年多元统计分析期末试题

1.试论述系统聚类、动态聚类和有序聚类的异同之处。

2、设 X {X} X~ N 3 {N_3} N3​(μ，Σ)，其中 X {X} X ~ ( X 1 {X_1} X1​, X 2 {X_2} X2​, X 3 {X_3} X3​)，μ = (1,-2,3)‘，Σ = [ 1 1 1 1 3 2 1 2 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 1& 1 \\ 1 & 3&2\\ 1&2&2 \end{bmatrix} ​111​132​122​ ​ (1)试求3X1-4X2+5X3的分布； (2)求二维向量a=(a1,a2)’，使X1与X1-a’ [ X 3 X 2 ] \begin{bmatrix} {X_3} \\ {X_2} \\ \end{bmatrix} [X3​X2​​]相互独立。

3.欧洲各国语言有许多相似之处，有的甚至十分相似。以 E, N, G, Fr, S, I 分别表示英语、挪威语、德语、法语、西班牙语、意大利语这 6 种语言。人们以任两种语言对 1-10 这 10 个数字拼写中第一个字母不相同的个数定义两种语言间的“距离”。这种“距离”是广义距离。例如，英语和挪威语只有数字 1 和 8 的第一个字母不同，故这两种语言的距离定义为2。这样得到 6 种语言间的距离矩阵如下。请用最长距离法对这 6 种语言进行谱系聚类，并画出谱系图。

4.设有两个正态总体 G1和 G2，已知μ(1)=(10,15)’, μ(2)=(20,25)’,

Σ 1 = [ 1 0 0 1 ] Σ_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{bmatrix} Σ1​=[10​01​]， Σ 2 = [ 4 0 0 4 ] Σ_2=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} Σ2​=[40​04​]

先验概率和错判损失相同.试问样品 X(1)=(14,18) ’及 X(2)=(15,20) ’各应判归哪一类 (1)按距离判别准则； (2)按贝叶斯判别准则（提示，对密度函数取对数。计算时假设 lnx≈log2x）。

5.已知 X 的协差阵如下，试进行主成分分析，并求出每个主成分的贡献率及每个原始变量的 信息提取率。

Σ = [ 2 0 0 0 3 / 2 1 / 2 0 1 / 2 3 / 2 ] Σ =\begin{bmatrix} 2& 0& 0 \\ 0 & 3/2&1/2\\ 0&1/2&3/2 \end{bmatrix} Σ= ​200​03/21/2​01/23/2​ ​

6.设某总体可用 3 个指标来描述，在因子分析时，从约相关阵出发计算出特征值为 λ 1 {λ_1} λ1​=1.96, λ 2 {λ_2} λ2​=1, λ 3 {λ_3} λ3​=0.25。又知 λ 1 {λ_1} λ1​, λ 2 {λ_2} λ2​ 和 λ 3 {λ_3} λ3​对应的单位特征向量分别为(0.707,-0.316,0.632) ’,(0,0.899,0.447) ’及(0.929,-0.261,0.261)’，要求： ⑴ 计算因子载荷矩阵 A，并建立因子模型； ⑵ 计算共同度 h i 2 {h_i^2} hi2​ (i=1,2,3)； ⑶ 计算第一公共因子对总体的“贡献”。