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拉比诺维奇
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拉比诺维奇-法布里康特方程(Rabinovich-Fabrikant equations)是 1979年苏联物理学家拉比诺维奇和法布里康特提出模拟非平衡介质自激波动的非线性常微分方程组[1]：  拉比诺维奇-法布里康特方程 3D动画 γ=0.803...0.917
 拉比诺维奇-法布里康特图2 t20 动画γ=0.803...0.917
 拉比诺维奇-法布里康特吸引子 xy 相图alpha = 1.1, gamma = .86666666666666666667
x
˙
=
y
(
z
−
1
+
x
2
)
+
γ
x
{\displaystyle {\dot {x}}=y(z-1+x^{2})+\gamma x\,}
y
˙
=
x
(
3
z
+
1
−
x
2
)
+
γ
y
{\displaystyle {\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\,}
z
˙
=
−
2
z
(
α
+
x
y
)
,
{\displaystyle {\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\,}
其中 α, γ 是控制系统的参数. Danca and Chen[2]指出由于拉比诺维奇-法布里康特方程包含平方项，因此比较难以分析，即便选择的参数相同，但由于求解微分方程组的步骤的不同也会导致不同的吸引子。 目录 1 数值解 1.1 平衡点 1.2 γ = 0.87, α = 1.1 1.3 γ = 0.1 2 参考文献 3 外部链接 数值解[编辑]利用Maple中以龙格－库塔法rkf45为核心的软件包odeplot和plot、seq可以得出拉比诺维奇-法布里康特方程的数值解的3D动画图，以便观察拉比诺维奇-法布里康特系统随参数γ和时间t的变化： 参数值：α=1.1，γ=0.803..0.917，t=0...130 初始条件：x(0)=-1,y(0)=0,z(0)=0.5 在t20,系统进入混沌态。 平衡点[编辑]  平衡点区域图
x
~
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2,3,4}}
.
拉比诺维奇-法布里康特系统具有5个双曲线平衡点，一个在原点，4个依赖于系统参数α 和γ ' ： [3]。 x ~ 0 = ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{0}=(0,0,0)} x ~ 1 , 2 = ( ± q − , − α q − , 1 − ( 1 − γ α ) q − 2 ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2}=\left(\pm q_{-},-{\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right)} x ~ 3 , 4 = ( ± q + , − α q + , 1 − ( 1 − γ α ) q + 2 ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{3,4}=\left(\pm q_{+},-{\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right)} 其中： q ± = 1 ± 1 − γ α ( 1 − 3 γ 4 α ) 2 ( 1 − 3 γ 4 α ) {\displaystyle q_{\pm }={\sqrt {\frac {1\pm {\sqrt {1-\gamma \alpha \left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}{2\left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}}这些平衡点只存在于参数 α and γ > 0 的一些区域。 当α=1.1,γ=0.87 代人上式可得： [0,0,0] [.46748585798513339859, -2.3530123557983251267, .95430463972208895291] [-.46748585798513339859, -2.3530123557983251267, .95430463972208895291] [1.3347123182858183570, -.82414763460993508052, .62751354209609286530] [-1.3347123182858183570, -.82414763460993508052, .62751354209609286530]
維基教科書中的相關電子教程：Rabinovich Fabrikant 平衡点
γ = 0.87, α = 1.1[编辑]
当 γ = 0.87 and α = 1.1，初始条件为(−1, 0, 0.5).[4] The 关联维数 为 2.19 ± 0.01.[5] 李雅普诺夫指数, λ 约为 0.1981, 0, −0.6581 卡普兰 - 约克量纲, DKY ≈ 2.3010[4]。 γ = 0.1[编辑] Rabinovich Fabricant xy plot alpha=-0.05
 Rabinovich Fabricant xy plot alpha=0.05
 Rabinovich Fabricant xy plot alpha=0
 Rabinovich Fabricant xy plot alpha=0.25
Danca and Romera[6]指出当参数 γ = 0.1、 α = 0.98时，系统进入混沌状态，当 α = 0.14时，系统进入极限环。
利用Maple中以龙格－库塔法rkf45为核心的软件包odeplot和plot、seq可以得出拉比诺维奇-法布里康特方程的数值解的3D动画图，以便观察拉比诺维奇-法布里康特系统随参数α的变化： 参数值：γ=0.14，t=0...130, 初始条件：x(0)=-1,y(0)=0,z(0)=0.5 参考文献[编辑] ^ Rabinovich, Mikhail I.; Fabrikant, A. L. (1979). "Stochastic Self-Modulation of Waves in Nonequilibrium Media". Sov. Phys. JETP 50: 311. Bibcode:1979JETP...50..311R. ^ Danca ^ name="DancaChen" ^ 4.0 4.1 Sprott ^ Grassberger ^ DancaGrassberger, P.; Procaccia, I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, 9: 189–208. Bibcode:1983PhyD....9..189G. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. Rabinovich, Mikhail I.; Fabrikant, A. L. Stochastic Self-Modulation of Waves in Nonequilibrium Media. Sov. Phys. JETP. 1979, 50: 311. Bibcode:1979JETP...50..311R. Sprott, Julien C. Chaos and Time-series Analysis. Oxford University Press. 2003: 433. ISBN 0-19-850840-9. Danca, Marius-F.; Romera, Miguel. Algorithm for Control and Anticontrol of Chaos in Continuous-Time Dynamical Systems. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series B: Applications & Algorithms (Watam Press). 2008, 15: 155–164. ISSN 1492-8760. hdl:10261/8868. Danca, Marius-F.; Chen, Guanrong. Birfurcation and Chaos in a Complex Model of Dissipative Medium. International Journal of Bifurcation and Chaos (World Scientific Publishing Company). 2004, 14 (10): 3409–3447. Bibcode:2004IJBC...14.3409D. doi:10.1142/S0218127404011430. 外部链接[编辑] Weisstein, Eric W. "Rabinovich–Fabrikant Equation." （页面存档备份，存于互联网档案馆） From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Chaotics Models a more appropriate approach to the chaotic graph of the system "Rabinovich–Fabrikant Equation" （页面存档备份，存于互联网档案馆） 查论编吸引子 洛伦茨吸引子 若斯叻吸引子 杜芬振子 范德波尔振荡器 陈氏吸引子 吕氏吸引子 蔡氏电路 多卷波混沌吸引子 拉比诺维奇-法布里康特方程 查论编混沌理论混沌理论 Anosov diffeomorphism（英语：Anosov diffeomorphism） 分岔理論 蝴蝶效应 Chaos theory in organizational development（英语：Chaos theory in organizational development） 复杂 混沌控制（英语：Control of chaos） 動態系统 混沌的边缘 分形 可预测性（英语：Predictability） 量子混沌（英语：Quantum chaos） 聖菲研究所 混沌同步化（英语：Synchronization of chaos） 意外后果（英语：Unintended consequences）
 混沌映射(列表（英语：List of chaotic maps）)
Arnold tongue（英语：Arnold tongue）
猫映射（英语：Arnold's cat map）
Baker映射（英语：Baker's map）
Complex quadratic map（英语：Complex quadratic polynomial）
Complex squaring map（英语：Complex squaring map）
Coupled map lattice（英语：Coupled map lattice）
双摆
多卷波混沌吸引子
杜芬振子
Duffing map（英语：Duffing map）
Dyadic transformation（英语：Dyadic transformation）
Dynamical billiards（英语：Dynamical billiards）
outer（英语：Outer billiard）
Exponential map（英语：Exponential map (discrete dynamical systems)）
高斯映射
Gingerbreadman map（英语：Gingerbreadman map）
厄农映射
马蹄映射
Ikeda映射（英语：Ikeda map）
Interval exchange map（英语：Interval exchange transformation）
Kaplan–Yorke映射（英语：Kaplan–Yorke map）
逻辑斯谛映射
洛伦茨吸引子
拉比诺维奇-法布里康特方程
若斯叻吸引子
标准映射（英语：Standard map）
Swinging Atwood's machine（英语：Swinging Atwood's machine）
帐篷映射
Tinkerbell映射（英语：Tinkerbell map）
范德波尔振荡器
Zaslavskii映射（英语：Zaslavskii map）
混沌系统
Bouncing ball dynamics（英语：Bouncing ball dynamics）
蔡氏電路
多卷波混沌吸引子
泡沫经济
Tilt-A-Whirl（英语：Tilt-A-Whirl）
混沌理论学家
迈克尔·贝里
蔡少棠
陈关荣
米切爾·費根鮑姆
古茨威勒
Brosl Hasslacher（英语：Brosl Hasslacher）
Michel Hénon（英语：Michel Hénon）
愛德華·諾頓·勞侖次
亞歷山大·李亞普諾夫
本華·曼德博
儒勒·昂利·庞加莱
Otto Rössler（英语：Otto Rössler）
达维德·吕埃勒
Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky（英语：Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky）
Floris Takens（英语：Floris Takens）
詹姆士·约克
古茨威勒
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y
˙
=
x
(
3
z
+
1
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+
γ
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{\displaystyle {\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\,}
z
˙
=
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α
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,
{\displaystyle {\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\,}
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±
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,
−
α
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q
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2
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{\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2}=\left(\pm q_{-},-{\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right)}
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{\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{3,4}=\left(\pm q_{+},-{\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right)}
【本文地址】