应力波是指物体受到冲击后，因应力作用而产生的可在其内部传播的弹性机械波(闫在兴，2008)。在我国，应力波技术首先应用在混凝土、岩土、基桩和油气管道的性能和缺陷检测中，之后才渐渐引起林业科研人员的重视，将该技术应用到了木材无损检测领域，对应力波的传播机制、获取试验数据的手段、数据之间的相关性、不同树种之间的差异以及定性和定量识别等方面进行了深入研究，取得了大量研究成果(安源，2013)。

木材应力波无损检测技术的基本原理是利用脉冲锤敲击被测木材上的发射端传感器，使木材内部产生应力波，测量应力波传播到接收端传感器的时间，计算传播速度，通过分析应力波传播时间和传播速度的变化来确定木材的内部缺陷(Lee et al., 2003； 杨学春，2004； 梁善庆等，2010)。根据传播速度可以确定木材的物理力学特性(Kang et al., 2002； Brashaw et al., 2004； Ishiguri et al., 2008)，再用层析成像技术模拟出不规则树干形状并以二维图像方式直观地显示立木腐朽部位、程度、大小及形状等情况(梁善庆等，2008)。木材应力波无损检测技术与其他无损检测技术相比，具有传播距离远和能量大、抗干扰能力强、不受木材尺寸影响、无需耦合剂、对人体无害、设备小巧、携带方便等特点，已在木材物理力学性能分析、林木内部缺陷检测和古建筑木结构健康监测等领域得到了广泛应用(杨学春等，2002)。

目前，国内外对应力波在树木内部的传播理论进行了大量研究(杨学春等，2005； 王立海等，2011； Li et al., 2014； 冯海林等，2010； 徐华东等，2014)，然而，涉及应力波在树木径切面内的传播规律研究相对较少。张厚江等(2010)对应力波在美国红松(Pinus resinosa)立木横截面和纵截面内的传播机制进行了研究，但该研究主要通过绘制应力波的传播时间等值线来进行比较测试，并未对应力波传播速度与传播方向之间的关系进行深入分析。为此，本文对健康和含缺陷树木径切面内的应力波传播速度随方向角的变化规律展开研究，以期发现应力波在树木径切面内的传播规律，为树木内部缺陷的三维成像技术提供理论依据。

假设某段理想的树干为圆柱，建立如图 1所示以O为原点的三维坐标系，其中OR、OL、OT分别表示径向、纵向和切向，平面ROL代表径切面。进一步假设应力波在径切面内沿OS方向传播，O为信号发射端，S为信号接收端。此外，α表示应力波传播方向与纤维方向之间的夹角，θ表示径向与应力波传播方向之间的夹角，显然，α+θ=90°。

为了预测木材离轴的单轴压缩强度，Hankinson公式给出了一种数学模型。该公式将纤维应力或者应力波速度作为木材纹理角度的函数进行计算，当应力波在径切面内传播时，如果传播方向与木材纹理角方向之间的夹角为α，那么由Hankinson公式可以推出应力波传播速度为：

式中：vl表示平行于纹理方向的应力波速度；vr表示垂直于纹理方向的应力波速度(即径向传播速度)。

由于α+θ=90°，因此式(1)可以转化为：

或

令 f(θ)=v(θ)/vr，从式(3)可知，若θ=90°，则有f(θ)=vl/vr；若θ=0，则有 f(θ)=1。在θ=0处用二阶泰勒公式展开式(3)，得到：

式(4)中，O(θ3)表示泰勒展开式的余项。对于图 1所示坐标系统，假设在径切面内沿逆时针方向角度为正，沿顺时针方向角度为负。式(5)表明，比值v(θ)/vr逼近于一条以θ=0为对称轴的抛物线，而且二次项系数介于0和1之间。

选取浙江农林大学植物园内有代表性的健康活立木作为研究对象，包括香樟(Cinnamomum camphora)4株、枫香(Liquidambar formosana)5株、乐昌含笑(Michelia chapensis)5株、鹅掌楸(Liriodendron chinensis)3株、响叶杨(Populus adenopoda)1株和悬铃木(Platanus sp.)1株。另选取松(Pinus sp.)和白杨(Populus alba)作为原木检测试验的试样。

采用德国Rinntech公司生产的Arbotom应力波木材无损检测仪(图 2)，该仪器包含12个传感器及主机和成像软件，能够测量传感器之间的应力波传播时间，并能够通过软件生成速度矩阵和二维断层图像。

选取树木试样表面的一点O作为应力波传播的起始位置，建立如图 1所示的坐标系。依次设置好接收端的传感器，图 3描述了传感器在被测试样上的布置方案，图中矩形平面表示试样的径切面，数字表示传感器编号及布置位置，括号中的数值表示传播路径与径向所成角度。1号传感器作为应力波发射端，其他均为接收端传感器。本文设计了2组试验。

1) 健康活立木试验(图 3a)：选取试验样本的一个径切面，在离地1 m高度处钉入1号传感器，在同样高度的直径另一端钉入7号传感器，接着分别正负2个方向每隔10°布置传感器，传感器编号为2～12号,测试角度范围为-50°～50°。使用脉冲锤敲击发射端，记录应力波传播到每个接收端的时间。

2) 有缺陷活立木试验(图 3b)：采用与健康活体试验相同的方法对有缺陷活立木试验样本进行测试。记录应力波传播到每个接收端的时间。

数据采集完成后，分别计算出不同角度方向上的应力波传播速度，利用SPSS软件进行数据分析与图形处理。

选取4株健康香樟活立木作为试样，分别编号为1，2，3和4。用 Arbotom应力波木材无损检测仪在起始高度为1 m处按上述试验方法进行检测，方向角θ与相应的应力波传播速度如表 1所示。

表 1 健康香樟活立木径切面内不同方向的应力波传播速度①

Tab.1 Stress wave propagation velocity along different direction in RL plane of healthy C. camphora

将表 1数据应用SPSS软件绘制得到应力波传播速度散点图并进行曲线拟合，如图 4所示，4条曲线分别表示4个试样在径切面内不同角度方向上的应力波传播速度变化趋势。由图 4可知，应力波传播速度随着方向角的增大而增大，径向速度最小，整体趋势为一条开口向上的抛物线。

为了使拟合的公式更加简便，使传播速度模型更具代表性，应用SPSS软件分别对4个试样的方向角θ与比值vθ/v0之间的关系进行回归分析(其中vθ为沿方向角θ的应力波速度，v0为径向应力波速度，即方向角θ为0°时的应力波速度)，θ采用弧度制，即1°=π/180，结果如表 2所示。在所建立的4个回归模型中，决定系数R2值均大于0.92，表明模型具有较高的拟合优度。表 2 中，y 表示vθ/v0，x表示方向角θ(以下相同)，可以看出，各拟合曲线的一次项系数约为0，k取决于被测试样的物理力学参数，而常数项C约等于1，即vθ/v0≈kθ2 +1(0≤k≤1)。

表 2 健康香樟活立木径切面内vθ/v0与θ之间的一元二次回归模型

Tab.2 Quadratic regression model of vθ/v0 and θ in RL plane of healthy C. camphora

采用与香樟活立木相同的检测方法，分别对枫香、乐昌含笑、鹅掌楸、响叶杨4种树种试样相同起始高度的径切面进行检测，获取的数据经过分析处理后绘制的应力波在树木径切面内传播速度变化趋势见图 5。由图 5可知，在所检测的健康活立木中，4种树种在相同方向角上的应力波传播速度不同，但其变化规律与香樟活立木的试验结果基本相同，传播速度都是随着方向角θ的增大而增大，径向速度最小，整体趋势为一条开口向上的抛物线。分析原因为：应力波在树木内部沿径向传播时，传播方向与树木纤维方向垂直，受到细胞壁边界的阻碍较多，因此传播速度较慢；而随着方向角的增大，应力波传播方向与树木纤维方向逐渐平行，受到细胞壁边界的阻碍变少，因此传播速度逐渐增加(Dackermann et al., 2014)。

为了使结论更具普遍性，将枫香、乐昌含笑样本增加至5株，但由于校内植物园树种数量有限，鹅掌楸和响叶杨分别取3株和1株。检测完成后，采用与香樟活立木试验相同的数据处理方法，将不同树种的vθ/v0值和方向角θ进行拟合，结果如表 3所示。由表 3可知，拟合曲线仍然满足一元二次函数关系，即y=kx2+Bx+C。通过多组试验数据分析可知，B≈0，C≈1，即vθ/v0≈kθ2+1(0≤k≤1)，表明该模型具有很好的拟合优度，且对不同树种都适用，能够很好地反映应力波在树木径切面内的传播规律。上述分析表明，对于选择的香樟、枫香、乐昌含笑、鹅掌楸和响叶杨等树种，应力波在健康活立木径切面内的传播模型都与本文建立的理论模型(5)非常吻合。

表 3 不同树种径切面内vθ/v0与方向角θ之间的一元二次回归模型

Tab.3 Quadratic regression model between vθ/v0 and θ in RL plane of different tree species

选取1株有缺陷悬铃木活立木作为试样，采用Arbotom应力波木材无损检测仪在起始高度1 m处按上述试验方法进行检测，测试角度范围为-50°～50°。该样本中下方位置有一长条形空洞，空洞处在初始高度负向区域，角度为-20°～-50°时，应力波传播路径均经过缺陷区域。

数据经过分析处理后，应用SPSS软件绘制得到应力波在树木径切面内传播速度变化趋势见图 6，图中虚线为对称参考线。 由图 6可知，对称参考线两侧的应力波传播速度有很大差别，在方向角为±50°，±40°，±30°和±20°处时传播速度差别尤为明显。实际上，当θ=-20°，-30°，-40°和-50°时，应力波经过了内部空洞区域，所测传播速度分别为1 028.5，1 072.0，864.9和892.1 m·s-1；当θ=20°，30°，40°和50°时，应力波经过了健康区域，所测传播速度分别为1 215.7，1 333.3，1 486.0和1 525 m·s-1。通过对比可知，在树木健康部分，应力波传播速度随方向角的变化趋势仍然满足健康树木内部的传播速度模型，根据应力波的传播机制和费马原理，应力波总是沿着最短的路径传播； 但当应力波传播到有缺陷区域时，其传播时间延长，传播速度明显降低，不再符合正常情况下的传播速度模型。

将一根健康的1.25 m长的松树原木采用上述方法进行试验，选取样本径切面右下角的一处位置放置1号传感器，取消了负方向上传感器的布置并新增了对60°，70°，80°和90°方向上应力波传播速度的检测(图 7a)，使得测试角度范围达到了0°～90°(方向角90°即代表原木纵向)，检测完成后记录数据。随后保持传感器位置不变，在原木上人工凿一个长30 cm、宽15 cm的矩形空洞(图 7b中虚线区域，方向角为50°，60°，70°和80°的应力波传播路径经过空洞，方向角为90°的应力波传播路径不经过空洞)，采用同样方法进行测试，记录数据。

完成健康原木和含空洞原木的检测试验后，分别计算出二者在不同角度方向上的应力波传播速度，并应用SPSS软件绘制凿洞前后的应力波传播速度变化趋势，如图 8所示。

由图 7和图 8可以看出，在θ=50°，60°，70°和80°方向上，凿洞前后的应力波传播速度差异明显，分别为1 908.0，2 020.2，2 437.5，3 023.6和1 249.0，1 702.1，1 875，2 520.8 m·s-1。由于凿洞后应力波传播经过了空洞区域，传播速度明显低于凿洞前。

为了进一步探究径切面内应力波经过健康区域和有缺陷区域的波速变化情况，另选用一根白杨原木做同样试验，传感器布置和原木凿洞位置与图 7相同，方向角为50°，60°，70°和80°的应力波传播路径经过缺陷，分析凿洞前后各角度方向上应力波传播速度化情况(表 4)。由表 4可知，在同一角度方向上，健康区域内的应力波传播速度变化不大，而经过缺陷区域后传播速度会比在健康区域降低15%以上。在树木横截面上，Wang等(2004) 研究认为，当测得某条传播路径上应力波传播时间大于其参考值为10%时，则该路径可视为经过缺陷区域。对于径切面内的应力波传播，本文针对多个树种的检测表明，在某个传播路径上，如果测得应力波传播速度与正常值相差15%以上，即可初步判断树木在该传播路径上存在缺陷。

表 4 松树和白杨原木样本径切面上不同角度方向上的应力波传播速度①

Tab.4 Stress wave propagation velocity along different direction in RL plane of Pinus sp. and P. alba log

基于上述统计分析获得的应力波在健康树木径切面内的传播速度模型以及内部缺陷对传播速度模型的影响情况，本文设计了一种树木内部缺陷四向交叉检测方法。以图 7b所示的松树原木缺陷为例，由于仅使用1次图 7b所示方法所检测的传播路径不足以覆盖被测径切面，因此对被测样本从多个起始点沿不同方向进行检测以获取更多数据，这样就可以通过相应的传播速度以及路径交叉分析，判断出样本内部的缺陷分布情况。从同一径切面(长方形)的4个顶点出发，分别进行4轮应力波检测，统计每轮沿不同角度方向的传播速度，并与健康参考值(本试验取表 4中的v1为健康参考值；当健康参考值难以获得时，采用理论模型计算出来的结果作为参考值)对比，相差15%以上即视为异常，出现异常值的传播路径用红色标记，表示该路径通过缺陷区域，正常部分用绿色标记，表示该路径未通过缺陷区域。图 9描述了四向交叉检测的过程。

与图 7b相对应的真实原木及其内部空洞如图 10d所示。图 9中标记为红色的路径表示经过缺陷区域，可以看出在图 9a和图 9b的检测中，路径1-7，1-8，1-9，1-10都经过了空洞区域，而在图 9c和图 9d的检测中，路径1-10经过了空洞区域。综合利用4次检测结果，可以得到图 10a所示路线图。从图 10a可以看出，传播路径c-a，c-d7，c-d6，c-d5，d-b，d-c7，d-c6，d-c5经过了缺陷区域。为了使定位更精确，以d-b路径为例，进行二次着色，其中b-p段和q-d段经过的路径全为绿色，即可认为该段处在健康区域，将其标记为绿色；p-o段和r-q段经过1条绿色路径和1条红色路径，认为该段处在过渡区域，将其标记为黄色；o-r段经过的路径全为红色，认为该段处在缺陷区域，将其标记为红色。依次对所有红色传播路径进行二次着色，得到的红色区域各路径边缘的交点被当成缺陷区域的边界点，依次连接起来即获得了缺陷区域的大致位置(图 10b)，最后经过填充和边缘圆滑处理后区域ABCDEF为定位结果(图 10c)。

在图 10c中，红色区域为缺陷定位区域，与图 10d中凿洞后的实际缺陷位置对比可以发现，二者大致吻合，说明上述方法能较准确地检测出原木内部缺陷的位置；当然如果能够增加更多角度方向的检测数据，缺陷检测结果将更精确。当第1轮应力波检测激励点1的位置确定后，该方法的检测范围随之确定，因此，当对活立木进行检测时，应结合人工经验及被检测区域的特征来确定激励点1的位置。

本文分析了应力波在树木内部径切面内传播速度的变化规律，建立了理论模型； 针对不同树种完成了应力波无损检测试验，建立了应力波在树木径切面内的传播速度模型，得到如下结论：

1) 理论分析表明，在健康树木的径切面内，沿方向角θ的应力波传播速度和径向传播速度比值v(θ)/vr逼近一元二次函数$1+\frac{{{v_{\rm{l}}}- {v_{\rm{r}}}}}{{{v_{\rm{l}}}}}{\theta ^2}$。针对不同树种的检测试验结果表明，应力波在径切面内的传播速度随着方向角的增大而增大，当方向角为零(即沿径向传播)时，速度最小；不同树种的回归分析模型均为开口向上的抛物线，且比值v(θ)/vr逼近一元二次函数： vθ/v0≈kθ2+1(0≤k≤1)。回归分析结果证明了本文理论分析模型的正确性。

2) 在健康树木中，树种仅影响应力波传播速度的大小，而不影响应力波的传播规律。本文针对同一树种的多个样本试验结果表明，香樟、枫香、乐昌含笑、鹅掌楸k值范围分别为0.32～0.42，0.28～0.36，0.37～0.44，0.37～0.42。

3) 在含有内部缺陷的树木中，应力波在径切面内的传播速度与健康树木有明显不同，经过缺陷区域的应力波传播速度会比在健康区域时小很多。

4) 基于建立的应力波在树木径切面内的传播速度模型及影响因素，本文设计了一种四向交叉检测方法，该方法可以较准确地检测树木内部缺陷的位置； 如果将其与传统的三维断层成像方法相结合，有望更好地改善成像效果。