昨天我们给出了统计量是UMVUE的一个必要条件：它是充分统计量的函数，且是无偏估计，但这并非充分条件。如果说一个统计量的无偏估计函数一定是UMVUE，那么它还应当具有完备性的条件，这就是我们今天将探讨的内容。由于本系列为我独自完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！

完备统计量跟充分统计量从名字上看是相对应的，但是完备统计量的意义不像充分统计量那么明确——充分统计量代表能“完全包含”待估参数信息的统计量，而完备统计量则是使得不同的参数值对应不同的统计量分布。具体说来，完备统计量的定义是这样的：

设总体分布族的密度函数为\(f(x;\theta)\)，这里\(\theta\in \Theta\)是待估参数，称\(\Theta\)为参数空间（其实我们之前接触过但没有专门提过参数空间的概念）。设\(T=T(\boldsymbol{X})\)为一统计量，若对任何可测函数\(\varphi(\cdot)\)具有以下的条件：

就称\(T(\boldsymbol{X})\)是完备统计量。如果放宽条件，当\(\varphi(\cdot)\)是有界函数时上式成立，则称此统计量是有界完备统计量。显然，有界完备统计量必是完备统计量。

从线性代数的角度来看，可以把函数空间视为一个无限维向量空间，那么取期望就可以视为该向量空间上的一个映射，容易验证此映射具有线性映射的性质：

完备性就要求\(T(\boldsymbol{X})\)的选择，会使得期望映射成为一个单射（可以回顾单射的条件是\(\mathrm{null}\mathbb{E}=\{0\}\)，可参考此链接），也就意味着每一个期望值都对应唯一的可测函数\(\varphi(\cdot)\)。

特别当\(T(\boldsymbol{X})\)有密度函数\(g(x;\theta)\)时，完备性条件可以写成

在将函数空间看成内积空间时，我们一般将\(\int_{-\infty}^\infty\varphi(x)g(x)\mathrm{d}x\)视为\(\langle\varphi(x),g(x)\rangle\)，即两个函数的内积，所以\(\int_{-\infty}^\infty\varphi(x)g(x;\theta)\mathrm{d}x=0\)即\(\varphi(x),g(x;\theta)\)正交。完备统计量的密度函数是这样一个函数系\(\{g(x;\theta)\}\)：如果\(\varphi(x)\)与函数系中的任意函数正交，则\(\varphi(x)\equiv 0\)。从这一点上，\(\{g(x;\theta)\}\)张成了整个函数空间。

由可测函数的可乘性，如果\(T\)是完备的，则对任何可测函数\(\delta(\cdot)\)，\(\delta(T)\)也是完备的。

下面，我们试着用定义来验证均匀分布\(U(a,b)\)的完备统计量是\((X_{(1)},X_{(n)})\)。分别写出其密度函数为