证明： lim ⁡ n → ∞ ( 1 − 1 n ) n = 1 e \lim\limits_{n\rightarrow\infty}({1-\frac{1} {n}})^n=\frac{1}{e} n→∞lim​(1−n1​)n=e1​ 解：令 y = ( 1 − 1 n ) n y=({1-\frac{1}{n}})^n y=(1−n1​)n

则 l n y = n l n ( 1 − 1 / n ) lny=nln(1-1/n) lny=nln(1−1/n) 令 t = 1 / n t=1/n t=1/n则 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞时 n → 0 n\rightarrow 0 n→0

lim ⁡ n → ∞ n l n ( 1 − 1 / n ) = lim ⁡ t → 0 l n ( 1 − t ) t \lim\limits_{n\rightarrow\infty}nln(1-1/n)=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1-t)}{t} n→∞lim​nln(1−1/n)=t→0lim​tln(1−t)​

由洛必达法则： lim ⁡ n → ∞ n l n ( 1 − 1 / n ) = lim ⁡ t → 0 l n ( 1 − t ) ′ t ′ = lim ⁡ t → 0 1 t − 1 = − 1 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}nln(1-1/n)=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1-t)^{'}}{t^{'}}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t-1}=-1 n→∞lim​nln(1−1/n)=t→0lim​t′ln(1−t)′​=t→0lim​t−11​=−1

所以 lim ⁡ n → ∞ ( 1 − 1 n ) n = 1 e \lim\limits_{n\rightarrow\infty}({1-\frac{1}{n}})^n=\frac{1}{e} n→∞lim​(1−n1​)n=e1​