已知 f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上有 n + 1 n+1 n+1阶导数， x 0 ∈ ( a , b ) x_0 \in (a,b) x0​∈(a,b),则在 ( a , b ) (a,b) (a,b)成立 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+⋯+n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x)，其中 R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 , ξ 在 x ， x 0 之间 R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \xi\text{在}x\text{，}x_0\text{之间} Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1,ξ在x，x0​之间

证明： 设 T ( t ) = f ( t ) + f ′ ( t ) ( x − t ) + f ′ ′ ( t ) 2 ! ( x − t ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( t ) n ! ( x − t ) n T(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n T(t)=f(t)+f′(t)(x−t)+2!f′′(t)​(x−t)2+⋯+n!f(n)(t)​(x−t)n G ( t ) = ( x − t ) n + 1 G(t)=(x-t)^{n+1} G(t)=(x−t)n+1 F ( t ) = f ( t ) − T ( t ) = f ( t ) − ( f ( t ) + f ′ ( t ) ( x − t ) + f ′ ′ ( t ) 2 ! ( x − t ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( t ) n ! ( x − t ) n ) F(t)=f(t)-T(t) =\cancel{f(t)}-(\cancel{f(t)}+f'(t)(x-t)+\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n) F(t)=f(t)−T(t)=f(t) ​−(f(t) ​+f′(t)(x−t)+2!f′′(t)​(x−t)2+⋯+n!f(n)(t)​(x−t)n) F ( t ) = − ( f ′ ( t ) ( x − t ) + f ′ ′ ( t ) 2 ! ( x − t ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( t ) n ! ( x − t ) n ) F(t)=-(f'(t)(x-t)+\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n) F(t)=−(f′(t)(x−t)+2!f′′(t)​(x−t)2+⋯+n!f(n)(t)​(x−t)n)

不妨设 x > x 0 x>x_0 x>x0​，则可知 G ( t ) , F ( t ) ∈ C [ x , x 0 ] ⋂ D ( x , x 0 ) G(t),F(t)\in C[x,x_0]\bigcap D(x,x_0) G(t),F(t)∈C[x,x0​]⋂D(x,x0​)。 对t求导数 G ′ ( t ) = − ( n + 1 ) ( x − t ) n G'(t)=-(n+1)(x-t)^{n} G′(t)=−(n+1)(x−t)n F ′ ( t ) = − ( f ′ ( t ) + ( x − t ) f ′ ′ ( t ) − f ′ ( t ) + ( x − t ) 2 2 ! f ( 3 ) ( t ) − 2 ( x − t ) 2 ! f ′ ′ ( t ) + ⋯ + f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x − t ) n − n ( x − t ) ( n − 1 ) n ! f ( n ) ( t ) ) = − f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x − t ) n F'(t)=-\bigg( \cancel{f'(t)}+\cancel{(x-t)f''(t)}- \cancel{f'(t)}+\cancel{\frac{(x-t)^2}{2!}f^{(3)}(t)}-\cancel{\frac{2(x-t)}{2!}f''(t)}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n-\cancel{\frac{n(x-t)^{(n-1)}}{n!}f^{(n)}(t)} \bigg)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n F′(t)=−(f′(t) ​+(x−t)f′′(t) ​−f′(t) ​+2!(x−t)2​f(3)(t) ​−2!2(x−t)​f′′(t) ​+⋯+n!f(n+1)(t)​(x−t)n−n!n(x−t)(n−1)​f(n)(t) ​)=−n!f(n+1)(t)​(x−t)n G ( x ) = 0 , F ( x ) = 0 G(x)=0, F(x)=0 G(x)=0,F(x)=0 依柯西定理 ∃ ξ ∈ ( x , x 0 ) \exist\xi\in(x,x_0) ∃ξ∈(x,x0​)，使下式成立 F ( x ) − F ( x 0 ) G ( x ) − G ( x 0 ) = F ′ ( ξ ) G ′ ( ξ ) \frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} G(x)−G(x0​)F(x)−F(x0​)​=G′(ξ)F′(ξ)​ F ( x 0 ) G ( x 0 ) = − f ( n + 1 ) ( ξ ) n ! ( x − ξ ) n − ( n + 1 ) ( x − ξ ) n = f ( n + 1 ) ( ξ ) n + 1 ! \frac{F(x_0)}{G(x_0)}=\cfrac{-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n}{-(n+1)(x-\xi)^{n}}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n+1!} G(x0​)F(x0​)​=−(n+1)(x−ξ)n−n!f(n+1)(ξ)​(x−ξ)n​=n+1!f(n+1)(ξ)​ f ( x 0 ) − T ( x 0 ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) n + 1 ! ( x − x 0 ) n + 1 f(x_0)-T(x_0)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n+1!} (x-x_0)^{n+1} f(x0​)−T(x0​)=n+1!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1 证毕。