以一道题目为例子：

如图，已知∠1=∠2，求证：∠3=∠4。

这道题大部分人的证法为：

证明：∵∠1=∠2

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）

但是课本上只有大段文字的描述，并未有类似于这种比较严谨的证法，因此我们还应该想点证法

证法二：三角形内角和

证明：延长FE,HG交于点M.

在△FHM中,∠M+∠2+∠4=180°,

在△EGM中,∠M+∠5+∠6=180°

∴∠2+∠4=∠5+∠6

∵∠1=∠2,∠1=∠5（对顶角相等）,

∴∠2=∠5,

∴∠4=∠6,

∵∠3=∠6（对顶角相等）,

∴∠3=∠4.

证法三：四边形内角和

证明：在四边形EFHG中,∠2+∠4+∠7+∠8=360°,

∵∠7=180°-∠1,∠8=180°-∠3

∴∠2+∠4+∠7+∠8

=∠2+∠4+180°-∠1+180°-∠3

=∠2+∠4-∠1-∠3+360°

=360°,

∴∠1+∠3=∠2+∠4,

∵∠1=∠2,

∴∠3=∠4.

原本我们已经看过了“两直线平行，同位角相等”的文字描述推理过程，并且学会了用这一条来推出“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”，并且学会了它们的逆定理以及根据这其中一个定理推出其他定理的方法。

看完以上两种新证法，我们也可以用类似的方法来推出另外两条结论。

有人可能会好奇：三角形内角和不是靠平行线的定理推出来的吗？四边形内角和不是靠三角形内角和推出来的吗？

事实上，在证法二里面，我们不需要得知“三角形的内角和等于180°”也可以完成证明。但是“对顶角相等”是一个特别好证的定理，运用一些定义就可以完成证明。

又有人会接着问：既然按上面这么说，三角形的内角和一定是固定的吗？

事实上，数学中下了很多的定义，利用这些定义便可以而完成很多推论的证明。当然，有很多定理都没有严谨的证法，但是在人们长期的实践中，感觉是对的。因此，把这些定理看做是成立的，并且得到应用。欧几里得就提出了一些这样的定理，被称为“公理”。

举几个例子：

两点之间，线段最短。

两点间确定一条直线。

边角边、角边角、角角边、边边边定理判定三角形全等。

平行线分线段成比例。

……

这样的定理还有很多，尤其在几何里面最多，但是它们都在数学的大厦里面发挥了重要的作用，比如平行四边形的性质，对平行线的性质和三角形全等依赖很严重，它们之中只要有一个不成立，平行四边形的一些性质也会跟着不成立。对于这些，数学家也没有办法，除非到了哪天发现了错误的存在。

同时，基本上这样的定理也会有一些推理的方式让它们似乎是成立的。比如全等三角形，确定好在这几条定理内能使两个三角形全等的几条边的长度和几个角的度数，去画三角形，发现似乎只能画出来一种，于是就认为它是成立的。

很多高深的定理也可能会依赖一些基础的证不出来的定理，这是无可厚非的。

回到最开始的话题，我们也把平行线定理的证明简化成了“三角形内角和是否固定”的证明，这在某种程度上也是一种对定理证明的简化

到这里，我们的证明就结束了，同时也说明了证不出来的一些东西到底是怎么回事。

虽然这些定理无法证明，但是在生活中我们也需要它们，使用它们的时候也不要感觉不严谨而避之，毕竟世界上所有的人类都还没有做到，你就急着创造一个奇迹也不现实。但是如果你真的发现了严谨的证法，对数学的进步也会有很大的影响。