易见，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论．但是，哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立，因此，欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高．这就是哥德巴赫猜想的由来．

现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6 的偶数，都可以表示为两个奇素数之和；每个大于等于9 的奇数，都可以表示为三个奇素数之和．第一个结论称为“偶数的哥德巴赫猜想”，第二个结论称为“奇数的哥德巴赫猜想”．其实，后一个命题就是前一个命题的推论．

我们从6=3+3，8=3+5，10=5+5，…，100=3+97=11+89=17+83，…这些具体的例子中可以看出，哥德巴赫猜想都是成立的．有人甚至逐一验证了3300 万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的．20 世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然是成立的．可是，自然数是无限的，会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢？

求证哥德巴赫猜想的历程

哥德巴赫猜想貌似简单，小学生都能读懂，但要证明它却着实不易，因此成了数学领域的一个著名的难题．欧拉是当时欧洲最伟大的数学家之一，他对哥德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲乃至世界数学界．从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意．许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想．可是，直到19 世纪末，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有做出实质性的推进，证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象．有的数学家则把哥德巴赫猜想喻为“数学王冠上的明珠”．

1900 年，20 世纪最伟大的数学家希尔伯特，在第二届国际数学家大会上把哥德巴赫猜想列为23 个数学难题之一，是希尔伯特第八问题中的一个子问题．1921 年，英国数学家哈代在哥本哈根数学会做的一次演讲中认为：哥德巴赫猜想可能是没有解决的数学问题中的最困难的一个．

哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到20 世纪20 年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路．此后，20 世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻哥德巴赫猜想“堡垒”，终于在其后的半个世纪里取得了一系列突破．20 世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法是筛法、圆法、密率法及三角和法等高深的数学方法．

1937 年，苏联数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov，1891—1983)，采用他自己创造的“三角和”方法，证明了弱哥德巴赫猜想，即“每一个充分大奇数都可表示为三个素数之和”．不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远．

1920 年，挪威数学家布朗(Brun)用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比较大的偶数都可以表示为“9+9”．所谓“9+9”，即任何一个足够大的偶数，都可以表示成其他两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9 个奇质数之积．从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，逐步逼近最后的结果．这种办法很管用，于是科学家们从“9+9”开始，逐步减少每个数里所含素数因子的个数，直到最后使每个数里都只有一个素数为止，即“1+1”．这样就证明了“哥德巴赫猜想”．

目前，最佳的结果是中国数学家陈景润于1966 年证明并于1973 年发表的陈氏定理(Chen’s Theorem)—“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积．”通常都简称这个结果为大偶数，可表示为“1+2”的形式．

在陈景润之前，关于偶数可表示为s 个质数的乘积与t 个质数的乘积之和(简称“s t ”问题)的进展情况如下：

1920 年，挪威的布朗证明了“9+9”．

1924 年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7”．

1932 年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了“6+6”．

1937 年，意大利的蕾西(Ricci)先后证明了“5+7”“4+9”“3+15”和“2+366”．

1938 年及1940 年，苏联的布赫夕太勃分别证明了“5+5”及“4+4”．

1948 年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+ c ”，其中c 是一很大的自然数．

1965 年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，以及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3”．

中国的数学家们也做出了巨大的贡献．

1956～1957 年，中国的王元(1930—)证明了“3+4”“3+3”和“2+3”．

1962 年，中国的潘承洞(1934—1997)和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了“1+5”，同年潘承洞和王元证明了“1+4”．

1966 年，中国的陈景润证明了“1+2”．

陈景润的哥德巴赫猜想“1+2”的完成，60 年无人超越．最终会由谁攻克“1+1”这个难题呢？目前还无法预测．

由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了．但为了实现这最后的一步，也许还需要经历一个漫长的探索过程．有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很有可能都是走不通的．

200 多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了艰辛的劳动，但迄今为止，我们仍无法断言哥德巴赫猜想是正确的还是错误的，没有人得到最终的结果．哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望而不可即的“明珠”．

哥德巴赫猜想的意义

数学界普遍认为，哥德巴赫猜想与黎曼猜想这两个问题的难度不相上下．但为什么民间数学家特别醉心于哥德巴赫猜想，而却不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？

一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思很困难，而哥德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂．

解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决哥德巴赫猜想．退一万步讲，即使哪天有一个牛人，在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想，又有什么意义呢？这恐怕和做了一道数学习题的意义差不多．

当年伯努利兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题．牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·伯努利用光学的办法也巧妙地解出最速降线方程，雅克布·伯努利用比较麻烦的办法也解决了这个问题．虽然雅克布的方法最复杂，但是他的方法发展出了解决这类问题的普遍办法—变分法．现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的．

同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费马大定理，但却不公布自己的方法．别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它呢？”的确，在解决费马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等．

所以，现代数学界在努力地研究新的工具、新的方法，期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的数学理论．

数学文化欣赏

胡伟文，徐忠昌 主编

北京：科学出版社 2016.11

ISBN 978-7-03-050489-0

数学对于人类文化进步产生了重要的推动作用，对人的思想、精神世界和人文素质有着巨大的影响．高等学校开设了许多数学课程，但仍不可忽视数学文化的教育功能．《数学文化欣赏》是一本面向普通高等院校非数学专业大学生的文化素质教材，力求阐明数学的思想、方法与文化意义，阐述了数学的发展简史和其推进人类文化发展的作用，介绍了解析几何、微积分、概率论与数理统计等大学生必修课程的思想方法及其文化影响，指出了数学与爱情、文学、艺术和教育等方面的联系．特别需要指出的是，本书结合军校人才培养目标的特点，突出了数学与军事、数学与信息技术广泛而深刻的联系．

（本期编辑：安 静）

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