单因素方差分析可以看成基础统计中两样本t检验的一个推广， 要比较试验观测值的某个因变量（称为“指标”）按照一个分组变量（称为“因素”）分组后， 各组的因变量均值有无显著差异。

设因素\(A\)将所有观测分为\(m\)个组， 每组对因变量进行\(r\)次观测， 且各次观测相互独立， 模型为 \[\begin{aligned} y_{ij} =& \mu_i + e_{ij}, i=1,2,\dots, m, \ j=1,2, \dots, r. \\ e_{ij} & \text{ iid N}(0, \sigma^2) . \end{aligned}\]

希望研究如下问题： \[\begin{aligned} H_0:\ \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_m . \end{aligned}\]

如果拒绝\(H_0\)， 希望找出哪些组的均值两两之间是有显著差异的。

这样的问题称为单因素方差分析问题， “单因素”是指按照一种分组方式分组。 主要模型中假定各个观测独立， 误差\(e_{ij}\)服从正态分布， 且误差的方差相等。

方差分析在最初是采用平方和分解的方式进行检验， 但是随着模型变得更复杂， 现在处理方差分析问题一般都采用线性模型的一般理论进行处理。

单因素方差分析问题可以推广到不同组的重复观测次数不同的情形。

例子：考虑如下的方差分析问题。 某工厂要比较三种不同组装工艺(A, B, C)的工作效率， 将15名工人随机分为3个组， 每个组采用一种工艺， 一周后各组的成品数如下：

我们需要长表格式，进行转换：

用aov()进行方差分析：

主效应grp（分组）的F检验的p值为0.004， 若检验水平为0.05则分组效应显著， 各组之间有显著差异。

可以用并列盒形图比较各组的取值， 并检查分布对称性和方差齐性：

从图形看，C组的工作效率显著低于A组和B组， A、B两组之间差异不明显。

为了检查各组方差是否相等，可以进行Bartlett检验：

结果表明可以认为各组的方差相等。

除了各组并列盒形图， 也可以做点图并将各组的均值、均值置信区间作图，如：

可以看出C的误差条（均值置信区间）低于A和B的误差条， 而A和B的误差条有交集。

对均衡设计的单因素方差分析， 可以用pwr包的pwr.anova.test()函数计算功效和样本量。 设\(k\)个组的因变量（指标）值共同的标准差为\(\sigma_{\text{within}}\), 而各个组的均值的样本标准差为\(\sigma_{\text{between}}\)(但是使用\(k\)作为分母而不是\(k-1\)作为分母)， 定义要检验的效应大小为 \[ f = \frac{\sigma_{\text{between}}}{\sigma_{\text{within}}} . \] 典型的效应大小值为：

考虑前面比较三种工艺的例子， 取检验水平\(0.05\)， 每组样本量\(n = 5\)， 要检验中等的效应大小， 功效为：

功效只有\(11\%\)。 计算达到\(80\%\)功效所需样本量：

需要每组\(53\)个试验值。

我们计算一下比较工艺例子中实际数据反映出来的效应大小。

按这个效应计算检验的功效：

功效有\(93\%\)。 计算\(80\%\)功效需要的样本量：

每组4各试验即可。

基本R的power.anova.test()也能计算功效， 需要输入组内方差、组间方差， 而且计算组间方差时用的是各组均值方差使用\(k-1\)（组数）作为分母的公式。 如：

和pwr.anova.test()输出的结果相同。

为了找到各组两两之间是否有显著差异， 可以进行两两的独立两样本t检验， 但这样不能利用共同的模型参数， 进行多次重复检验也会使得总第一类错误概率变得比较高， 发生过度拟合。

进行多个假设检验（如均值比较）的操作称为“多重比较”（multiple comparison， 或multiple testing）， 多次检验会使得总第一类错误概率增大。 以两两比较为例， 当比较次数很多时， 即使所有的组之间都没有真实的差异， 很多个两两比较也会找到差异最大的一对， 使得发现的的显著差异有很大可能性不是真实存在的。

为此，可以进行一些调整， 使得报告的检验p值能够控制总第一类错误概率。 multcomp包的glht()函数可以对方差分析结果进行多重比较并控制总错误率， 一种方法是利用Tukey的HSD(Honest Significant Difference)方法， 程序如下：

Tukey HSD检验的结果是， 在0.05水平下， A和B没有显著差异， C与A、B均有显著差异。

方差分析模型要求误差项独立同正态分布N(0, \(\sigma^2\))， 这意味着各组的因变量方差相等。 实际中不同组的因变量可能有不同的方差。 R提供了oneway.test()函数作为独立两样本t检验的Welch方法的推广， 可以不要求方差相等。 如

p值为0.011，在0.05水平下显著， 说明三种生产工艺的时间有显著差异。

为了进行多重比较， 可以进行两两t检验并不使用合并的标准差估计， 使用Holm方法进行p值调整以控制总错误率：

在0.05水平下， A和B没有显著差异，C与A和B都有显著差异。

如果各组的因变量（指标）分布严重偏离正态， 则单因素方差分析所依据的F检验会有很大的误差。 这时， 可以使用非参数方法， Kruskal-Wallis检验是独立两样本比较的Wilcoxon秩和检验的推广。 如：

检验p值为0.02，在0.05水平下拒绝零假设， 认为各组之间有显著差异。

在单因素方差分析问题中， 有可能存在一个连续型的解释变量， 对因变量（指标）有影响， 希望在排除此连续型解释变量影响后对各组进行比较。 这相当于如下的模型： \[\begin{aligned} y_{ij} = \mu_i + \beta x_{ij} + e_{ij}, \end{aligned}\] 其中\(x_{ij}\)为已知值的解释变量。

例子 考虑multcomp包的litter数据。 为研究某种药物对出生小数体重的影响， 将若干怀孕小鼠随机分配到4个不同的处理组， 变量dose表示这4个组， 其取值是母鼠服药的剂量。 研究的因变量（指标）是母鼠所生产的幼鼠的平均体重(weight)， 要排除协变量gesttime（怀孕时间）的影响。 这个数据的各组试验数不相同，频数统计为：

进行协方差分析：

从结果中dose的检验结果看， 排除协变量gesttime影响后， 在0.05水平下， 四个处理组之间有显著差异。

将服药的三个组的均值与不服药（dose=0）的组比较的检验如下：

检验的零假设为\(H_0: \alpha_1 = (\alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4)/3\), 其中\(\alpha_j\)表示第\(j\)个组的均值，\(\alpha_1\)对应于dose=0的组， 即不服药的组。 检验结果表明在0.05水平下， 服药的和不服药的指标均值有显著差异。

两因素方差分析， 最简单的情形是有两个分组变量（称为因素）A和B， \(A\)有\(s\)个分类， \(B\)有\(t\)个分类， 对\(A\)和\(B\)的每一种搭配\((i,j)\)， 重复试验\(r\)次得到观测值\(y_{ijk}\)， 设各次观测值相互独立。 模型为 \[ y_{ijk} = \mu_{ij} + e_{ijk}, \ i=1,\dots,s, \ j=1,\dots,t, \ k=1,\dots, r, \] 误差项\(e_{ijk}\)独立同正态分布N(0,\(\sigma^2\))。

一般将上述模型用另外的参数表示成： \[\begin{aligned} y_{ijk} =& \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + e_{ijk}, \end{aligned}\] 其中\(\alpha_i\)表示因素A的“主效应”， \(\beta_j\)表示因素\(B\)的主效应， \(\gamma_{ij}\)表示因素A和因素B的交互作用效应。 这样模型中的参数是冗余的， 一般会加限制， 比如设\(\alpha_1 = 0\)， \(\beta_1 = 0\)， \(\gamma_{i1} = \gamma_{1j} = 0\)。

二元方差分析的问题是分别检验两个因素的主效应是否显著（不等于零）， 交互作用效应是否存在（不等于零）。

以R的datasets包的ToothGrowth数据为例。 考虑维生素C对豚鼠的成牙质细胞生长的影响， 因变量（指标）len是某牙齿长度测量值， 考虑两种不同的维生素C类型(变量supp，取值为OJ或VC)， 以及三种剂量(变量dose, 取值为0.5, 1.0, 2.0)。 需要将这两个因素都转换成R的因子：

可见这个试验是均衡有重复完全试验设计。

进行二元方差分析：

在0.05水平下， 两个主效应和交互作用效应都显著。

R函数interaction.plot()可以绘制表示交互作用的图形。 此图形以因变量为y坐标， 以第一个因素的水平为横坐标作折线图， 但根据第二个因素的不同水平分组作图。 如果不同组的折线图基本平行则没有交互作用效应， 否则提示有交互作用效应。 程序如：

图形结果提示有交互作用效应。