回归平方和怎么计算

2024-07-12 04:55| 来源: 网络整理| 查看: 265

计量经济学复习笔记（三）：如何使用回归结果

根据我们之前的讨论，任意给定一组

$equation?tex=%28X%2CY%29$ 的观测值，都可以计算回归。但是否回归都是有效的？直观说来，我们会将回归方程直接绘制在图像上，看样本点围绕回归方程的偏差程度大不大。但是绘图、看图说话总要动脑，直接给一个指标告诉大家好还是不好就能省掉许多的工作，这篇文章首先来探究这样的指标，再讨论回归方程的使用。 1、拟合优度与可决系数

如果一个回归方程的效果很好，残差就应该很小，但是这个小需要一个相对的标准进行衡量。如果只是看绝对数的大小，则样本容量小的回归方程肯定有更小的残差平方和，但拟合优度却不一定好。为了找到残差的对比指标，我们引入一个重要的等式：平方和分解式。这个等式刻画了在计算出回归方程后，离差平方和的一种分解关系，其内容如下：

$equation?tex=+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Cbar+Y%29%5E2%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Chat+Y_i%29%5E2%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28%5Chat+Y_i-%5Cbar+Y%29%5E2%2C%5Ctag%7B3.1%7D+$

其中

$equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Cbar+Y%29%5E2$ 被称为离差平方和，它就是用于计算样本方差的原始部分； $equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Chat+Y_i%29%5E2$ 即残差平方和，我们总希望它尽可能小，而后面的 $equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28%5Chat+Y_i-%5Cbar+Y%29%5E2$ 就被我们称为回归平方和。这个式子的直观意义是，总体的方差可以被分解为确定性部分（系统性部分）与非确定性部分，回归平方和就是确定性部分，如果它越大，回归方程的解释能力就越强，残差平方和就是非确定性部分。

对这个式子的证明如下：

$equation?tex=+%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Cbar+Y%29%5E2%3D%26%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Chat+Y_i%2B%5Chat+Y_i-%5Cbar+Y%29%5E2%5C%5C+%3D%26%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Chat+Y_i%29%5E2%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28%5Chat+Y_i-%5Cbar+Y%29%5E2%2B2%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Chat+Y_i%29%28%5Chat+Y_i-%5Cbar+Y%29+%5Cend%7Baligned%7D%5Ctag%7B3.2%7D+$

只要证明交叉部分为0即可，即

$equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%26%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28Y_i-%5Chat+Y_i%29%28%5Chat+Y_i-%5Cbar+Y%29%5C%5C+%3D%26%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5BY_i-%28%5Chat%5Cbeta_0%2B%5Chat%5Cbeta_1X_i%29%5D%28%5Chat%5Cbeta_0%2B%5Chat%5Cbeta_1X_i-%5Cbar+Y%29%5C%5C+%3D%26%28%5Chat%5Cbeta_0-%5Cbar+Y%29%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5BY_i-%28%5Chat%5Cbeta_0%2B%5Chat%5Cbeta_1X_i%29%5D%2B%5Chat%5Cbeta_1%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnX_i%5BY_i-%28%5Chat%5Cbeta_0%2B%5Cbeta_1X_i%29%5D%5C%5C+%3D%260.+%5Cend%7Baligned%7D%5Ctag%7B3.3%7D$

这里又一次用到了OLS估计的条件，即

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