矩阵的求逆是一个重要的矩阵运算，这个运算只能用于方阵。

方阵M的逆，记作 M − 1 M^{-1} M−1，也是一个矩阵，当M与 M − 1 M^{-1} M−1相乘时，结果时单位矩阵。用公式表示： M ( M − 1 ) = M − 1 M = 1 M(M^{-1})=M^{-1}M=1 M(M−1)=M−1M=1 并非所有矩阵都有逆。一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。 如果一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的或奇异矩阵。 奇异矩阵的行列式为零，非奇异矩阵的行列式不为零，所以检测行列式的值式判断矩阵是否可逆的有效方法。 此外，对于任意可逆矩阵M，当且仅当 v = 0 v=0 v=0时， v M = 0 vM=0 vM=0。

M的“标准伴随矩阵”记作“adj M”，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。 例子： M = [ − 4 − 3 3 0 2 − 2 1 4 − 1 ] M=\begin{bmatrix}-4&-3&3\\0&2&-2\\1&4&-1\end{bmatrix} M=⎣⎡​−401​−324​3−2−1​⎦⎤​ 计算M的代数余子式矩阵： c 11 = + ∣ 2 − 2 4 − 1 ∣ = 6 c 12 = − ∣ 0 − 2 1 − 1 ∣ = − 2 c 13 = + ∣ 0 2 1 4 ∣ = − 2 c 21 = − ∣ − 3 3 4 − 1 ∣ = 9 c 22 = + ∣ − 4 3 1 − 1 ∣ = 1 c 23 = − ∣ − 4 − 3 1 4 ∣ = 13 c 31 = + ∣ − 3 3 2 − 2 ∣ = 0 c 32 = − ∣ − 4 3 0 − 2 ∣ = − 8 c 33 = + ∣ − 4 − 3 0 2 ∣ = − 8 \begin{gathered} c_{11} = +\begin{vmatrix}2&-2\\4&-1\end{vmatrix}=6&c_{12} = -\begin{vmatrix}0&-2\\1&-1\end{vmatrix}=-2&c_{13} = +\begin{vmatrix}0&2\\1&4\end{vmatrix}=-2\\c_{21} = -\begin{vmatrix}-3&3\\4&-1\end{vmatrix}=9&c_{22} = +\begin{vmatrix}-4&3\\1&-1\end{vmatrix}=1&c_{23} = -\begin{vmatrix}-4&-3\\1&4\end{vmatrix}=13\\c_{31} = +\begin{vmatrix}-3&3\\2&-2\end{vmatrix}=0&c_{32} = -\begin{vmatrix}-4&3\\0&-2\end{vmatrix}=-8&c_{33} = +\begin{vmatrix}-4&-3\\0&2\end{vmatrix}=-8 \end{gathered} c11​=+∣∣∣∣​24​−2−1​∣∣∣∣​=6c21​=−∣∣∣∣​−34​3−1​∣∣∣∣​=9c31​=+∣∣∣∣​−32​3−2​∣∣∣∣​=0​c12​=−∣∣∣∣​01​−2−1​∣∣∣∣​=−2c22​=+∣∣∣∣​−41​3−1​∣∣∣∣​=1c32​=−∣∣∣∣​−40​3−2​∣∣∣∣​=−8​c13​=+∣∣∣∣​01​24​∣∣∣∣​=−2c23​=−∣∣∣∣​−41​−34​∣∣∣∣​=13c33​=+∣∣∣∣​−40​−32​∣∣∣∣​=−8​

M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置： a d j M = [ c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 ] T = [ 6 − 2 − 2 9 1 13 0 − 8 − 8 ] T = [ 6 9 0 − 2 1 − 8 − 2 13 − 8 ] adjM=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}6&-2&-2\\9&1&13\\0&-8&-8\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}6&9&0\\-2&1&-8\\-2&13&-8\end{bmatrix} adjM=⎣⎡​c11​c21​c31​​c12​c22​c32​​c13​c23​c33​​⎦⎤​T=⎣⎡​690​−21−8​−213−8​⎦⎤​T=⎣⎡​6−2−2​9113​0−8−8​⎦⎤​

一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能计算矩阵的逆。这也是为什么矩阵的行列式为零的话，矩阵不可逆： M − 1 = a d j M ∣ M ∣ M^{-1}=\dfrac {adjM} {|M|} M−1=∣M∣adjM​

根据上式，能求出： M − 1 = [ 6 9 0 − 2 1 − 8 − 2 13 − 8 ] − 24 = [ − 1 / 4 − 3 / 8 0 1 / 12 − 1 / 24 1 / 3 1 / 12 − 13 / 24 1 / 3 ] M^{-1}= {\begin{bmatrix}6&9&0\\-2&1&-8\\-2&13&-8\end{bmatrix} \over -24} = \begin{bmatrix}-1/4&-3/8&0\\1/12&-1/24&1/3\\1/12&-13/24&1/3\end{bmatrix} M−1=−24[6−2−2​9113​0−8−8​]​=⎣⎡​−1/41/121/12​−3/8−1/24−13/24​01/31/3​⎦⎤​

当然还有其它方法可以用来计算矩阵的逆，比如高斯消元法。

矩阵的逆的重要性质：

矩阵的逆在几何上非常有用，因为它使得我们可以计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤消”原变换的变换。 所以，如果向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆 M − 1 M^{-1} M−1进行变换，将会得到原向量。