听完司宏伟老师的讲解，想必大家对第一部分的古代计算器具有了大致的了解。下面，我们就来了解具体的器具，以及它们背后的故事和玄机。

人类早期的计算实践以计数为起点。除了自身手指之外，我们的祖先还利用绳结、算筹、算珠等来代表离散的数的单元，以移动和排列这些单元的方式来施行简单的运算。对于较为复杂的运算或函数，人们会将计算结果编排成表格，或采用比例规、计算尺、列线图等模拟计算装置。这些早期的计算工具主要依赖手动，没有分化出明确的输入和输出装置。

在文稿中，大家会看到“手指计数图”——

计数是算术的基础。人的十个手指成为最简单方便的计数工具，这大概也是十进制计算的根本原因。在古代世界，手指计数法有非常复杂的形式。欧洲中世纪的手指计数方法甚至可以用两只手来表示多达9999的数字。直至今日，手指计数仍然在手语和手势交流中广泛采用，但不同民族表示数字的手势不尽相同。

接下来，我们要介绍的是基普结绳。

世界上不止一个民族曾采用结绳计数：中国古代有“上古结绳而治”（《周易·系辞下》）的记录；在南美，古老的印加部落曾使用过一种计数的绳子——“基普”。通过结绳来计数，可以较为长久地保存数量信息。基普结绳中体现了位值制计数法——同一个数字由于所在位置不同而有不同的值。

基普结绳，大约17世纪，南美安第斯山印加部落；子木园博物馆藏

基普结绳是一种古代南美印加人用羊驼毛或骆马毛编成各种结的彩色绳子。“基普”是部落语言发音，意为“打结的绳子”。

具体来讲，就是在一根横粗的主绳上垂直地系上许多条细的副绳。主绳通常直径为0.5-0.7厘米，副绳像缨子一样垂着，一般系有100多根，有时甚至多达2000根。在副绳上距主绳不同的距离处打着一个个结头，结头的形状和数量表示所需要计算的数目。距主绳最远的结是个位，再上一个结是十位，然后是百位和千位；万是印加人知道的最大计数单位，代表它的结也最靠近主绳；零则用在绳上的对应位置不打任何结来表示。

印加（Inca）是起源于公元前3千年左右南美洲安第斯山脉（现秘鲁境内）的一个古老部落，大约15世纪时骤然崛起成为大帝国，后来被西班牙殖民者征服。印加人借助基普绳的不同颜色，结的形状、大小和位置，以及绳和结的旋转方向与次数等来记载各种重要事件和自然现象，也用来进行各种统计，特别是村民的人口统计。西班牙统治该地区后，基普也被用作记录当地的贡品、商业纠纷以及殖民者的所作所为等。目前世界上已知大约留存有700余件基普结绳实物，被美国自然史博物馆、德国柏林民族博物馆以及秘鲁当地博物馆等机构，或其它地方的私人所收藏。

接下来，我们要介绍的是古巴比伦数学泥板。

古代巴比伦文明的主要计数和算术工具是用粘土制成、上面写有楔形文字数字的泥板。有大约400块数学泥板传世，内容有整数和分数的四则运算、解二次方程等，数字采用60进制。

书写技术的发展伴随着数字符号的出现。在古代的两河流域，人们使用粘土制成泥板，其上用楔形文字书写。现存有数以百计的两河数学文献在泥板上保存下来，这一时期已发展出成熟的数字表记法。在古巴比伦，阅读、书写、计算是非常专业的技能，只有寺庙、宫殿和富裕的家庭才会用到，会书写的人形成了书吏这一特殊阶层。训练书吏的基础教育中，一个重要的组成部分是记忆大量倒数表和乘法表，书吏们需要依靠抄写来辅助记忆。从现有的泥板材料可以看出，学生们学习算术有固定的次序和内容，构造倒数表是其中的一步。今人看似基本的乘法，在古巴比伦书吏学校可能要用一年时间来教学，同样也会构造相关的乘法表。这些计算有关的表格可能用于学习时的背诵，也可能用于实际的换算或计算，是人类算术萌芽阶段的重要辅助工具。

下面，我们来看看算筹。算筹是中国古代的主要计算工具，一般由木棍、竹条或兽骨做成。通过排列和摆放算筹可以施行加、减、乘、除、开方等运算，也可用来求解方程，这样的计算方式统称为“筹算”。到明中叶时，算筹基本被算盘取代。

中国算筹【复制件】 公元前3世纪至公元1世纪（西汉） 中国 清华大学科学博物馆造

中国的传统数学长于计算，并且采取了一种与欧洲、两河流域迥然不同的形态，其中最重要的原因便是中国采用了十进位值制计数法和算筹。用算筹进行数学运算和演算称为筹算，中国传统数学的主要成就大都是以算筹为计算工具并使用筹算取得的。算筹最迟在南宋演变为珠算，并在与珠算并用了二三百年后，在明中叶被珠算完全取代。算筹又称算、策、算子等，一般用竹、木、象牙或骨制作，在春秋时期的文献中就有筹算的相关记载，其产生可能会早得多。它产生之后还有一个由长变短、截面由圆变方的过程。根据《汉书·律历志》计算：“其算法用竹，径一分，长六寸”。20世纪的考古发掘中多次发现战国秦汉的算筹，一些算筹上还有红色漆斑，可能是用于负数计算的。此外，人们用算筹还可以表记分数和小数。

中国古代的筹算，在整数四则运算、分数四则运算、开平方等问题上有成熟的法则，被用于求圆周率近似值、一元方程、线性方程组、损益术、正负术、天元术、四元术等数学问题的计算。一些数学史学者认为，中国传统数学的筹算算法具有构造性和“机械化”的特点，即问题解决的每一步都具有规格化的程序。

本节课程到此为止。下一节课，我们会讲到计算神器——算盘。为什么除中国只外，古罗马、俄罗斯都有算盘呢？下一节课，为大家揭秘。

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