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e(欧拉数)
数字 e 是个有名的无理数,它是数学里最重要的数字之一。 首几个数位是: 2.7182818284590452353602874713527(无穷继续……) 通常称为欧拉数,以莱昂哈德·欧拉命名。 e 是自然对数的底(由约翰·纳皮尔发明)。 e 出现在很多数学领域里,所以了解它是很有用的。 计算有很多计算 e 的值的方法,但没有方法可以算出绝对精确的值,因为 e 是个无理数(不是两个整数的比)。 但我们知道它精确到一万亿个小数位的值! 例如,当 n 越来越大时,(1 + 1/n)n 的值越来越趋近 e: n (1 + 1/n)n 1 2.00000 2 2.25000 5 2.48832 10 2.59374 100 2.70481 1,000 2.71692 10,000 2.71815 100,000 2.71827 另一个算法e 也等于 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + …… (注意:"!" 的意思是 阶乘) 首几项的和是:1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2.718055556 你可以去综合计算器试试。 巧记要记住 e 精确到十位小数的值,记住这个英语句子(数每个单词有几个字母): To express e remember to memorize a sentence to simplify this你也可以记住在 "2.7" 后,"1828" 连续出现两次: 2.7 1828 1828, 然后就是等腰直角三角形的内角 45°、90°、45°: 2.7 1828 1828 45 90 45 (记得 e 的值是个很了不起的成就!) 有趣的属性 尝试 "分开然后相乘"假设把一个数分成相等的部分,然后把所有部分相乘。 例子:把 20 分开为 4份,然后把它们相乘:每 "份" 是 20/4 = 5 5×5×5×5 = 54 = 625 ……问题是,每个部分要多大才可以得到最大的乘积? 例子(续):尝试 5 份:每"份" 是 20/5 = 4 4×4×4×4×4 = 45 = 1024 好,答案大了!但是,怎样得到最大的答案? 答案:每部分的大小等于 "e"(或尽量接近 e)。 例子:10 10 分开为 3 份是 3.3…… 3.3……×3.3……×3.3……(3.3……)3 = 37.037…… 10 分开为 4 等份是 2.5 2.5×2.5×2.5×2.5 = 2.54 = 39.0625 10 分开为 5 等份是 2 2×2×2×2×2 = 25 = 32最接近 "e" 的数值的乘积最大,这数值是 2.5。 自己来试试,比方用 100 …… 答案是多少? 高级:e 在复利计算里的应用e 时常在意料不到的地方出现。 例如,计算借贷和投资的连续复利时,需要用到 e: 连续复利公式 为什么?定期复利的公式是: FV = PV (1+r/n)n 其中 FV = 终值 PV = 现值 r = 年利率(以小数表示) n = 期数 期数越来越大时会怎么样? 留意下面两个公式的相似之处: (1+r/n)n 和 (1 + 1/n)n 复利公式 e(当 n 趋近无穷大)代入 x = n/r : r/n 变成 1/x, n 变成 xr所以: (1+r/n)n 变成 (1+(1/x))xr这就是e 的公式(当 n 趋近无穷大时)加上一个指数 r。 因此,当 x 趋近无穷大时,(1+(1/x))xr 趋近 er 这就是为什么 e 出现在利息计算里! 超越数e 也是个超越数 。 无理数 数索引 |
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