研究多层网络面临的首要问题是网络的构建与数学描述，即定义网络中节点和连边。虽然多层网络概念没有明确的统一的定义，但是依据拓扑结构特征可将其划分为多路复用网络、时序网络、网络的网络、相互依赖网络等不同的类型。本章主要关注多层网络一般形式的数学描述，并从矩阵表达、张量表达和聚合表达3个方面进行介绍。

多层网络更加关注复杂系统中的异质性，这种异质性包括不同类型节点以及属于不同网络层节点之间相互作用模式的刻画。这使得多层网络研究框架能够更全面完整地描述复杂系统的结构。单个网络中的节点及其相互作用关系可以由邻接矩阵完整地刻画，这种建模方案可以很自然地扩展至多层网络。多层网络的矩阵表达也被称为超邻接矩阵或者分块矩阵[3, 7]。

一个含有M层的多层网络(multilayer networks)可以用超邻接矩阵${{G}} = ({{A}},{{O}})$来表示。其中${{A}} = \{ {{{A}}^{[1]}}, {{{A}}^{[2]}},\cdots,{{{A}}^{[M]}}\} $表示多层网络中的层的邻接矩阵集合，${{{A}}^{[\alpha ]}} = ({V^{[\alpha ]}},{E^{[\alpha ]}})$表示$\alpha $层的邻接矩阵，${V^{[\alpha ]}}$表示$\alpha $层的节点集合(该集合中的节点i表示为$v_i^{^{[\alpha ]}}$)，${E^{[\alpha ]}}$表示$\alpha $层的层内连边集合。$a_{ij}^{[\alpha ]}$是${{{A}}^{[\alpha ]}}$中的元素：当$\alpha $层中节点i和节点j有连边时，$a_{ij}^{[\alpha ]} = 1$，否则$ a_{ij}^{[\alpha ]} = 0$。${{O}} = \{ {{{O}}^{[1,2]}},{{{O}}^{[1,3]}},\cdots,{{{O}}^{[\alpha ,\beta ]}}\left| {\alpha \ne \beta } \right.\} $表示层间网络邻接矩阵的集合。${{{O}}^{[\alpha ,\beta ]}} = ({V^{[\alpha ]}},{V^{[\beta ]}},{E^{[\alpha ,\beta ]}})$，其元素$O_{ij}^{^{[\alpha ,\beta ]}}$代表是否存在$\alpha $层节点i到$\beta $层节点j的连边。${V^{[\alpha ]}}$和${V^{[\beta ]}}$分别表示$\alpha $层和$\beta $层的节点集合，${E^{[\alpha ,\beta ]}} = {\rm{\{ (v}}_{\rm{i}}^{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}{\rm{,v}}_{\rm{j}}^{{\rm{[}}\beta {\rm{]}}}{\rm{)}}\left| {{{i,j}} \in {\rm{\{ 1,2,}}\cdots{\rm{\} }}} \right.;\alpha ,\beta \in {\rm{\{ 1,2,}}\cdots{{,M\} \} }}$表示$\alpha $层和$\,\beta $层的层间连边集合。

根据上述定义，多层网络的一般形式可被定义为${{G}} = ({{A,O}}) = $$\{ {{{A}}^{[1]}},{{{A}}^{[{\rm{2}}]}},\cdots,{{{A}}^{[M]}};{{{O}}^{[1,2]}},{{{O}}^{[1,3]}},\cdots, {{{O}}^{[\alpha ,\beta ]}}\} $ $(\alpha ,\beta \in {\rm{\{ 1,2,}}\cdots{{,M\} )}}$。示意图如图1a所示。用超邻接矩阵可表示为：

图  1  多层网络和网络的网络示意图

与单层网络一样，多层网络${{G}}$也可以被定义为加权、有向和符号等不同的网络形式，不加赘述。需要说明的是一些文章也将这种具有不同网络相互关系所组成的“大网络”称为网络的网络(network of networks)，如图1b所示，其本质上与多层网络的概念是一致的。此外，一些研究还针对特殊的多层网络结构类型进行了定义。下面将介绍3种常见的模型：相互依存网络、多路复用网络、时序网络。

相互依存网络(interdependent networks)是由多个具有相依存关系的网络所组成，示意图如图2所示。层间连边表示了节点的依存关系，这种依存关系使得一个网络层的动态变化会极大地影响其他网络层。如“计算机−电力”相互依存网络：$\alpha $层表示电站之间相互传输电力，$\,\beta $层表示计算机之间互通信息。电站之间的电力传输通过计算机进行控制，而计算机间的通信又依赖于电站供给必需的电力。

图  2  相互依存网络示意图

多路复用网络(multiplex networks)中的所有网络层由同一组节点构成，如图3所示。该网络的特点是每一个网络层表示节点间的某种关系或者相互作用模式，而层间连边表示同一个节点在不同网络层的对应关系。如不同的社会关系所构成的多层社交网络，其中不同层表示的是个体间不同的社交关系(可以包括朋友关系、合作关系或者家庭关系等)。

图  3  多路复用网络示意图

多层网络还可以用于研究单个网络随时间演变的情况。在随时间演变的过程中，节点和连边都有可能发生变化(新增或移除)，这种变化可能是某种因素带来的，如网络遭受攻击或者故障等。在此，由单个网络随时间变化所构成的多层网络被称为时序网络(temporal networks)，示意图如图4所示。

图  4  时序网络示意图

张量本质是多维数组，也是数量、向量、矩阵的自然推广。一阶张量是一个向量，二阶张量是一个矩阵，三阶以上的张量称为高阶张量。张量的阶(order)表示为张量维度的数目。以多路复用网络为例，该类型多层网络的张量表达是$U = ({u_{i\alpha j\beta }}) \in {\Re ^{N \times M \times N \times M}}$，这是一个四阶张量(fourth-order tensor)[15-16]。S中每个元素可以被定义为：如果节点$v_i^{[\alpha ]}$和节点$v_j^{[\beta ]}$存在连边，则${u_{i\alpha j\beta }} = 1$；否则${u_{i\alpha j\beta }} = 0$。其中，$1 \leqslant i,j \leqslant N{\text{，}}1 \leqslant \alpha ,\beta \leqslant M$，N表示多路复用网络中每层网络的节点总数，为了简写有时候${u_{i\alpha j\beta }}$也被写成$u_{j\beta }^{i\alpha }$。

张量表征方法为研究多层网络及其动态过程提供了一个强有力的工具。多层网络的张量表达不仅可以直接得出不同层之间的对应关系，还不会丢失网络的细节信息。文献[15]给出了多层网络拓扑性质的张量形式描述，包括度中心性、聚类系数、特征向量中心性、熵和扩散等。

多层网络模型由于多维度网络层的引入，为网络基本统计性质、社团结构以及动力学行为的刻画带了新的挑战。为了降低研究的复杂性，早期的研究考虑了多层网络的聚合表达[8]，即在不考虑多层结构层间交互性质的情况下，将多层网络压缩成单层网络(该单层网络被称为聚合网络)。

聚合网络的邻接矩阵可以被定义为：$B = \{ {b_{ij}}\} $，即当任意的网络层$\alpha :a_{ij}^{[\alpha ]} = 1$，则${b_{ij}} = 1$，否则${b_{ij}} = 0$。聚合网络也可以是加权的，权重的含义是i和j在多层网络中连边的次数。值得说明的是，聚合网络本质上是一个单层网络，而在聚合网络中连边的含义是两个节点在至少一层上共享一条边。

聚合网络是多层网络的简化形式。这样的建模方式虽然降低了后续研究的难度，但是丢失了多层网络特有的拓扑信息(层间相互作用关系)。一个开放性的问题是究竟需要多少层才能够准确地表示复杂系统的结构，即考虑如何用较少的层数尽可能保留整个系统的信息。文献[17]提出了一种层聚合和结构可还原的模型，采用网络层的熵定义了多层网络的可区分性指数，并通过最优化该指数来获得最优划分。结果表明一些真实网络可以减少75%的冗余层。