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卜瓦松分布
泊松分布
概率质量函數 横轴是索引k，发生次数。该函数只定义在k为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。
累積分布函數 横轴是索引k，发生次数。CDF在整数k处不连续，且在其他任何地方都是水平的，因为服从泊松分布的变量只针对整数值。参数
λ > 0（实数）值域
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
⋯
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\cdots \}}
概率质量函数
λ
k
k
!
e
−
λ
{\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}
累積分布函數
Γ ( ⌊ k + 1 ⌋ , λ ) ⌊ k ⌋ ! {\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}} ，或 e − λ ∑ i = 0 ⌊ k ⌋ λ i i ! {\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\ } ，或 Q ( ⌊ k + 1 ⌋ , λ ) {\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )} (对于 k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} ，其中 Γ ( x , y ) {\displaystyle \Gamma (x,y)} 是不完全Γ函数， ⌊ k ⌋ {\displaystyle \lfloor k\rfloor } 是高斯符号，Q是规则化Γ函数)期望值 λ {\displaystyle \lambda } 中位數 ≈ ⌊ λ + 1 / 3 − 0.02 / λ ⌋ {\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor } 眾數 ⌈ λ ⌉ − 1 , ⌊ λ ⌋ {\displaystyle \lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor } 方差 λ {\displaystyle \lambda } 偏度 λ − 1 / 2 {\displaystyle \lambda ^{-1/2}} 峰度 λ − 1 {\displaystyle \lambda ^{-1}} 熵λ [ 1 − log ( λ ) ] + e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k log ( k ! ) k ! {\displaystyle \lambda [1-\log(\lambda )]+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}} （假设 λ {\displaystyle \lambda } 较大） 1 2 log ( 2 π e λ ) − 1 12 λ − 1 24 λ 2 − {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-} 19 360 λ 3 + O ( 1 λ 4 ) {\displaystyle \qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)} 矩生成函数 exp ( λ ( e t − 1 ) ) {\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))} 特徵函数 exp ( λ ( e i t − 1 ) ) {\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))} 概率母函数 exp ( λ ( z − 1 ) ) {\displaystyle \exp(\lambda (z-1))}泊松分布（法語：loi de Poisson；英語：Poisson distribution）又稱Poisson分布、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子數分布等等。 泊松分布的機率質量函数为： P ( X = k ) = e − λ λ k k ! {\displaystyle P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}泊松分布的参数 λ {\displaystyle \lambda } 是随机事件发生次数的数学期望值。 目录 1 记号 2 性质 3 推導 4 泊松分布的来源（泊松小数定律） 5 最大似然估計（MLE） 6 例子 7 生成泊松分布的随机变量 8 参见 9 参考文献 9.1 引用 9.2 来源 记号[编辑]若 X {\displaystyle X} 服从参数为 λ {\displaystyle \lambda } 的泊松分布，记为 X ∼ π ( λ ) {\displaystyle X\sim \pi (\lambda )} ，或记为 X ∼ P o i s s o n ( λ ) {\displaystyle X\sim Poisson(\lambda )} . 性质[编辑]1、服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数 λ {\displaystyle \lambda } : E ( X ) = V ( X ) = λ {\displaystyle E(X)=V(X)=\lambda } 2、兩個獨立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若 X ∼ P o i s s o n ( λ 1 ) {\displaystyle X\sim Poisson(\lambda _{1})} 且 Y ∼ P o i s s o n ( λ 2 ) {\displaystyle Y\sim Poisson(\lambda _{2})} ，則 X + Y ∼ P o i s s o n ( λ 1 + λ 2 ) {\displaystyle X+Y\sim Poisson(\lambda _{1}+\lambda _{2})} 。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov定理（英语：Raikov's theorem））。 3、其動差母函數为： M X ( t ) = E [ e t X ] = ∑ x = 0 ∞ e t x e − λ λ x x ! = e − λ ∑ x = 0 ∞ ( e t λ ) x x ! = e λ ( e t − 1 ) {\displaystyle M_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}} 推導[编辑]期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式) E ( X ) = ∑ i = 0 ∞ i P ( X = i ) = ∑ i = 1 ∞ i e − λ λ i i ! = λ e − λ ∑ i = 1 ∞ λ i − 1 ( i − 1 ) ! = λ e − λ ∑ i = 0 ∞ λ i i ! = λ e − λ e λ = λ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X)&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle iP(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \end{aligned}}} E ( X 2 ) = ∑ i = 0 ∞ i 2 P ( X = i ) = ∑ i = 1 ∞ i 2 e − λ λ i i ! = λ e − λ ∑ i = 1 ∞ i λ i − 1 ( i − 1 ) ! = λ e − λ ∑ i = 1 ∞ 1 ( i − 1 ) ! d d λ ( λ i ) = λ e − λ d d λ [ ∑ i = 1 ∞ λ i ( i − 1 ) ! ] = λ e − λ d d λ [ λ ∑ i = 1 ∞ λ i − 1 ( i − 1 ) ! ] = λ e − λ d d λ ( λ e λ ) = λ e − λ ( e λ + λ e λ ) = λ + λ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X^{2})&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle i^{2}P(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i^{2}{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {i\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {1 \over (i-1)!}{d \over d\lambda }(\lambda ^{i})\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}\end{aligned}}} 我們可以得到： V a r ( X ) = ( λ + λ 2 ) − λ 2 = λ {\displaystyle Var(X)=(\lambda +\lambda ^{2})-\lambda ^{2}=\lambda } 如同性質： E ( X ) = V a r ( X ) = λ {\displaystyle E(X)=Var(X)=\lambda } 、 σ X = λ {\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\lambda }}} 泊松分布的来源（泊松小数定律）[编辑]在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数 n {\displaystyle n} 很大，二项分布的概率 p {\displaystyle p} 很小，且乘积 λ = n p {\displaystyle \lambda =np} 比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。 证明如下。首先，回顾自然對數 e {\displaystyle e} 的定义： lim n → ∞ ( 1 − λ n ) n = e − λ , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },}二项分布的定义： P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}} 。如果令 p = λ n {\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}} ， n {\displaystyle n} 趋于无穷时 P {\displaystyle P} 的极限： lim n → ∞ P ( X = k ) = lim n → ∞ ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = lim n → ∞ n ! ( n − k ) ! k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k = lim n → ∞ [ n ! n k ( n − k ) ! ] ⏟ F ( λ k k ! ) ( 1 − λ n ) n ⏟ → exp ( − λ ) ( 1 − λ n ) − k ⏟ → 1 = lim n → ∞ [ ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) … ( 1 − k − 1 n ) ] ⏟ → 1 ( λ k k ! ) ( 1 − λ n ) n ⏟ → exp ( − λ ) ( 1 − λ n ) − k ⏟ → 1 = ( λ k k ! ) exp ( − λ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{F}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\ldots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\right]} _{\to 1}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}} 最大似然估計（MLE）[编辑]给定 n {\displaystyle n} 个样本值 k i {\displaystyle k_{i}} ，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数 λ {\displaystyle \lambda } 的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数： L ( λ ) = ln ∏ i = 1 n f ( k i ∣ λ ) = ∑ i = 1 n ln ( e − λ λ k i k i ! ) = − n λ + ( ∑ i = 1 n k i ) ln ( λ ) − ∑ i = 1 n ln ( k i ! ) . {\displaystyle {\begin{aligned}L(\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}} d d λ L ( λ ) = 0 ⟺ − n + ( ∑ i = 1 n k i ) 1 λ = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}解得λ从而得到一个驻点（stationary point）： λ ^ M L E = 1 n ∑ i = 1 n k i . {\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!}检查函数 L {\displaystyle L} 的二阶导数，发现对所有的 λ {\displaystyle \lambda } 与 k i {\displaystyle k_{i}} 大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数 L {\displaystyle L} 的极大值点： ∂ 2 L ∂ λ 2 = ∑ i = 1 n − λ − 2 k i {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}-\lambda ^{-2}k_{i}} 例子[编辑]对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到 λ {\displaystyle \lambda } 的估计为 81 × 1 + 34 × 2 + 9 × 3 + 6 × 4 230 ≈ 0.87 {\displaystyle {\frac {81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}}\approx 0.87} 。 生成泊松分布的随机变量[编辑]一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）： algorithm poisson random number (Knuth): init: Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1. do: k ← k + 1. Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u. while p > L. return k − 1.尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值 k {\displaystyle k} ，平均是 λ {\displaystyle \lambda } 。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的 λ {\displaystyle \lambda } 值， e − λ {\displaystyle e^{-\lambda }} 可能导致数值稳定性问题。对于较大 λ {\displaystyle \lambda } 值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。 对于很小的 λ {\displaystyle \lambda } 值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过 u {\displaystyle u} 的样本，才需要检查累积概率。 algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:[1] init: Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p. Generate uniform random number u in [0,1]. do: x ← x + 1. p ← p * λ / x. s ← s + p. while u > s. return x. 参见[编辑] 泊松过程 概率论 泊松回归 概率分布 参考文献[编辑] 引用[编辑] ^ Luc Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation（Springer-Verlag, New York, 1986）, chapter 10, page 505 http://luc.devroye.org/rnbookindex.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） 来源[编辑] Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF). 2012, 1: 21–28 [2017-10-30]. （原始内容存档于2018-02-21）. Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions. Computing. 1974, 12 (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108. Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Generation of Poisson Deviates. ACM Transactions on Mathematical Software. 1982, 8 (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997. Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers. The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6. SIAM Review. 1988, 30 (2): 314–317. doi:10.1137/1030059. Donald E. Knuth. Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. Volume 2. Addison Wesley. 1969. 查论编常见一元（英语：Univariate distribution）概率分布连续 Β 柯西 χ² 指数 F Γ 拉普拉斯 对数正态 正态 帕累托 学生t 均匀 韦伯 离散 伯努利 二项 离散均匀 几何 超几何 负二项 泊松 概率分布列表（英语：List of probability distributions） 查论编概率分布（列表（英语：List of probability distributions））離散單變量有限支集 本福特定律 伯努利分布 Β-二项式分布 二項式分布 categorical（英语：categorical distribution） 超几何分布 negative（英语：Negative hypergeometric distribution） Poisson binomial（英语：Poisson binomial distribution） Rademacher（英语：Rademacher distribution） 孤子分布 離散型均勻分佈 齊夫定律 Zipf–Mandelbrot（英语：Zipf–Mandelbrot law） 無限支集 beta negative binomial（英语：beta negative binomial distribution） Borel（英语：Borel distribution） Conway–Maxwell–Poisson（英语：Conway–Maxwell–Poisson distribution） discrete phase-type（英语：Discrete phase-type distribution） Delaporte（英语：Delaporte distribution） extended negative binomial（英语：extended negative binomial distribution） Flory–Schulz（英语：Flory–Schulz distribution） Gauss–Kuzmin（英语：Gauss–Kuzmin distribution） 幾何分佈 对数分布 mixed Poisson（英语：mixed Poisson distribution） 负二项分布 Panjer（英语：(a,b,0) class of distributions） parabolic fractal（英语：parabolic fractal distribution） 卜瓦松分布 Skellam（英语：Skellam distribution） Yule–Simon（英语：Yule–Simon distribution） zeta（英语：zeta distribution）  連續單變量紧支集
arcsine（英语：Arcsine distribution）
ARGUS（英语：ARGUS distribution）
Balding–Nichols（英语：Balding–Nichols model）
Bates（英语：Bates distribution）
Β分布
beta rectangular（英语：Beta rectangular distribution）
continuous Bernoulli（英语：Continuous Bernoulli distribution）
歐文–賀爾分佈
Kumaraswamy（英语：Kumaraswamy distribution）
logit-normal（英语：Logit-normal distribution）
noncentral beta（英语：Noncentral beta distribution）
PERT（英语：PERT distribution）
raised cosine（英语：Raised cosine distribution）
reciprocal（英语：Reciprocal distribution）
三角形分布
U-quadratic（英语：U-quadratic distribution）
連續型均勻分布
維格納半圓分布
半無限區間支集
Benini（英语：Benini distribution）
Benktander 1st kind（英语：Benktander type I distribution）
Benktander 2nd kind（英语：Benktander type II distribution）
beta prime（英语：Beta prime distribution）
Burr（英语：Burr distribution）
chi（英语：chi distribution）
卡方分佈
noncentral（英语：Noncentral chi-squared distribution）
inverse（英语：Inverse-chi-squared distribution）
scaled（英语：Scaled inverse chi-squared distribution）
Dagum（英语：Dagum distribution）
Davis（英语：Davis distribution）
爱尔朗分布
hyper（英语：Hyper-Erlang distribution）
指数分布
hyperexponential（英语：Hyperexponential distribution）
Erlang分布
logarithmic（英语：Exponential-logarithmic distribution）
F-分布
noncentral（英语：Noncentral F-distribution）
folded normal（英语：folded normal distribution）
Fréchet（英语：Fréchet distribution）
伽玛分布
generalized（英语：Generalized gamma distribution）
inverse（英语：Inverse-gamma distribution）
gamma/Gompertz（英语：Gamma/Gompertz distribution）
Gompertz（英语：Gompertz distribution）
shifted（英语：shifted Gompertz distribution）
half-logistic（英语：Half-logistic distribution）
half-normal（英语：half-normal distribution）
Hotelling's T-squared（英语：Hotelling's T-squared distribution）
逆高斯分布
广义逆高斯分布
柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验
Lévy（英语：Lévy distribution）
log-Cauchy（英语：log-Cauchy distribution）
log-Laplace（英语：log-Laplace distribution）
log-logistic（英语：log-logistic distribution）
对数正态分布
log-t（英语：log-t distribution）
Lomax（英语：Lomax distribution）
matrix-exponential（英语：matrix-exponential distribution）
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
Maxwell–Jüttner（英语：Maxwell–Jüttner distribution）
Mittag-Leffler（英语：Mittag-Leffler distribution）
Nakagami（英语：Nakagami distribution）
帕累托分布
phase-type（英语：Phase-type distribution）
Poly-Weibull（英语：Poly-Weibull distribution）
瑞利分布
relativistic Breit–Wigner（英语：Relativistic Breit–Wigner distribution）
莱斯分布
truncated normal（英语：truncated normal distribution）
type-2 Gumbel（英语：type-2 Gumbel distribution）
韦伯分布
discrete（英语：discrete Weibull distribution）
Wilks's lambda（英语：Wilks's lambda distribution）
无限区间支集
柯西分布
exponential power（英语：Generalized normal distribution）
費雪z分佈
Kaniadakis κ-Gaussian（英语：Kaniadakis Gaussian distribution）
Gaussian q（英语：Gaussian q-distribution）
generalized normal（英语：Generalized normal distribution）
generalized hyperbolic（英语：Generalised hyperbolic distribution）
geometric stable（英语：geometric stable distribution）
耿贝尔分布
Holtsmark（英语：Holtsmark distribution）
hyperbolic secant（英语：hyperbolic secant distribution）
Johnson's SU（英语：Johnson's SU-distribution）
朗道分布
拉普拉斯分布
asymmetric（英语：Asymmetric Laplace distribution）
logistic（英语：logistic distribution）
noncentral t（英语：Noncentral t-distribution）
正态分布
normal-inverse Gaussian（英语：normal-inverse Gaussian distribution）
skew normal（英语：Skew normal distribution）
slash（英语：Slash distribution）
稳定分布
司徒頓t分布
Tracy–Widom（英语：Tracy–Widom distribution）
variance-gamma（英语：Variance-gamma distribution）
福格特函数
可变类型支集
generalized chi-squared（英语：Generalized chi-squared distribution）
generalized extreme value（英语：generalized extreme value distribution）
generalized Pareto（英语：Generalized Pareto distribution）
Marchenko–Pastur（英语：Marchenko–Pastur distribution）
Kaniadakis κ-exponential（英语：Kaniadakis Exponential distribution）
Kaniadakis κ-Gamma（英语：Kaniadakis Gamma distribution）
Kaniadakis κ-Weibull（英语：Kaniadakis Weibull distribution）
Kaniadakis κ-Logistic（英语：Kaniadakis Logistic distribution）
Kaniadakis κ-Erlangl（英语：Kaniadakis Erlang distribution）
q-exponential（英语：q-exponential distribution）
q-Gaussian（英语：q-Gaussian distribution）
q-Weibull（英语：q-Weibull distribution）
shifted log-logistic（英语：Shifted log-logistic distribution）
Tukey lambda（英语：Tukey lambda distribution）
混合單變量連續離散
修正高斯分佈（英语：Rectified Gaussian distribution）
联合分布
Discrete:
Ewens（英语：Ewens's sampling formula）
multinomial（英语：multinomial distribution）
Dirichlet（英语：Dirichlet-multinomial distribution）
negative（英语：negative multinomial distribution）
Continuous:
狄利克雷分布
generalized（英语：Generalized Dirichlet distribution）
multivariate Laplace（英语：Multivariate Laplace distribution）
多元正态分布
multivariate stable（英语：Multivariate stable distribution）
multivariate t（英语：Multivariate t-distribution）
normal-gamma（英语：normal-gamma distribution）
inverse（英语：Normal-inverse-gamma distribution）
随机矩阵
LKJ（英语：Lewandowski-Kurowicka-Joe distribution）
矩阵正态分布
matrix t（英语：matrix t-distribution）
matrix gamma（英语：matrix gamma distribution）
inverse matrix gamma（英语：inverse matrix gamma distribution）
威沙特分佈
normal（英语：normal-Wishart distribution）
逆威沙特分佈
normal-inverse（英语：normal-inverse-Wishart distribution）
定向統計（英语：Directional statistics）
循環單變量定向統計（英语：Directional statistics）
圆均匀分布
univariate von Mises（英语：von Mises distribution）
wrapped normal（英语：Wrapped normal distribution）
wrapped Cauchy（英语：Wrapped Cauchy distribution）
wrapped exponential（英语：Wrapped exponential distribution）
wrapped asymmetric Laplace（英语：Wrapped asymmetric Laplace distribution）
wrapped Lévy（英语：Wrapped Lévy distribution）
球形雙變量
Kent（英语：Kent distribution）
環形雙變量
bivariate von Mises（英语：bivariate von Mises distribution）
多變量
von Mises–Fisher（英语：Von Mises–Fisher distribution）
Bingham（英语：Bingham distribution）
退化分布和奇異分佈（英语：Singular distribution）
退化
狄拉克δ函数
奇異
康托尔分布
其它
Circular（英语：Circular distribution）
复合泊松分布
elliptical（英语：Elliptical distribution）
exponential（英语：Exponential family）
natural exponential（英语：Natural exponential family）
location–scale（英语：location–scale family）
Maximum entropy（英语：Maximum entropy probability distribution）
Mixture（英语：Mixture distribution）
Pearson（英语：Pearson distribution）
Tweedie（英语：Tweedie distribution）
Wrapped（英语：Wrapped distribution）
 分类
 维基共享
|
概率质量函数
λ
k
k
!
e
−
λ
{\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}
累積分布函數
，或
e
−
λ
∑
i
=
0
⌊
k
⌋
λ
i
i
!
{\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\ }
，或
Q
(
⌊
k
+
1
⌋
,
λ
)
{\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}
，其中
Γ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \Gamma (x,y)}
是不完全Γ函数，
⌊
k
⌋
{\displaystyle \lfloor k\rfloor }
是高斯符号，Q是规则化Γ函数)期望值
λ
{\displaystyle \lambda }
中位數
≈
⌊
λ
+
1
/
3
−
0.02
/
λ
⌋
{\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }
眾數
⌈
λ
⌉
−
1
,
⌊
λ
⌋
{\displaystyle \lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor }
方差
λ
{\displaystyle \lambda }
峰度
λ
−
1
{\displaystyle \lambda ^{-1}}
熵
![\lambda [1-\log(\lambda )]+e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6cf37058d59e89453fd5bf9a1ece59a8c81d1a)
（假设
λ
{\displaystyle \lambda }
19
360
λ
3
+
O
(
1
λ
4
)
{\displaystyle \qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}
矩生成函数
exp
(
λ
(
e
t
−
1
)
)
{\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}
特徵函数
exp
(
λ
(
e
i
t
−
1
)
)
{\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}
概率母函数
exp
(
λ
(
z
−
1
)
)
{\displaystyle \exp(\lambda (z-1))}
服从参数为
λ
{\displaystyle \lambda }
，或记为
X
∼
P
o
i
s
s
o
n
(
λ
)
{\displaystyle X\sim Poisson(\lambda )}
.
且
Y
∼
P
o
i
s
s
o
n
(
λ
2
)
{\displaystyle Y\sim Poisson(\lambda _{2})}
，則
X
+
Y
∼
P
o
i
s
s
o
n
(
λ
1
+
λ
2
)
{\displaystyle X+Y\sim Poisson(\lambda _{1}+\lambda _{2})}
。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov定理（英语：Raikov's theorem））。
![{\displaystyle M_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07027a2d97d52986d99b0a73c00430e95cdbdc8a)
推導[编辑]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X^{2})&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle i^{2}P(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i^{2}{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {i\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {1 \over (i-1)!}{d \over d\lambda }(\lambda ^{i})\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cfdcfdefe078c4ae07a091d4ec9cc56b007d67)
、
σ
X
=
λ
{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\lambda }}}
很大，二项分布的概率
p
{\displaystyle p}
很小，且乘积
λ
=
n
p
{\displaystyle \lambda =np}
比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。
的定义：
。
，
n
{\displaystyle n}
的极限：
![\begin{align}
\lim_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\
&=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\
&=\lim_{n\to\infty}
\underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F
\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\
&= \lim_{n\to\infty}
\underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1}
\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\
&= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right)
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3305a795ed8b2ce32f86487f67b44ecd5f69cb)
最大似然估計（MLE）[编辑]
，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数
λ
{\displaystyle \lambda }
d
d
λ
L
(
λ
)
=
0
⟺
−
n
+
(
∑
i
=
1
n
k
i
)
1
λ
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}
的二阶导数，发现对所有的
λ
{\displaystyle \lambda }
例子[编辑]
。
，平均是
λ
{\displaystyle \lambda }
可能导致数值稳定性问题。对于较大
λ
{\displaystyle \lambda }
的样本，才需要检查累积概率。
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