幂法是迭代算法，幂法方法简单，收敛速度慢，对于稀疏矩阵收敛合适

模最大的特征值称为主特征值

主特征值对应的特征向量称为特征向量

构造向量序列 X ( 0 ) , X ( 1 ) = A X ( 0 ) , ⋯   , X ( n ) = A X ( n − 1 ) X^{(0)},X^{(1)}=AX^{(0)},\cdots,X^{(n)}=AX^{(n-1)} X(0),X(1)=AX(0),⋯,X(n)=AX(n−1) A A A为代求矩阵， X ( 0 ) X^{(0)} X(0)为任意非零向量向量

主特征值 λ 1 \lambda_1 λ1​满足规律 λ 1 ≈ X ( k + 1 ) x ( k ) ⇒ λ 1 ≈ x i ( k + 1 ) x i ( k ) \lambda_1\approx\frac{X^{(k+1)}}{x^{(k)}}\Rightarrow\lambda_1\approx\frac{x_i^{(k+1)}}{x_i^{(k)}} λ1​≈x(k)X(k+1)​⇒λ1​≈xi(k)​xi(k+1)​​ 实际计算公式 { Y ( k ) = X ( k ) ∣ ∣ X ( k ) ∣ ∣ ∞ X ( k + 1 ) = A ∗ Y ( k ) k = 0 , 1 , 2 , ⋯ \left\{ \begin{aligned} Y^{(k)}=\frac{X^{(k)}}{||X^{(k)}||_\infty}\\ X^{(k+1)}=A*Y^{(k)} \end{aligned} \right . \quad k=0,1,2,\cdots ⎩⎪⎨⎪⎧​Y(k)=∣∣X(k)∣∣∞​X(k)​X(k+1)=A∗Y(k)​k=0,1,2,⋯ 当k充分大的时候有，特征值 λ 1 \lambda_1 λ1​和特征向量 V V V分别等于 { ∣ λ 1 ∣ = max ⁡ 1 ≤ 1 ≤ n ∣ x i ( k ) ∣ V 1 = Y ( k ) \left\{ \begin{aligned} |\lambda_1|=\max_{1\leq{1}\leq{n}}|x_i^{(k)}|\\ V_1=Y^{(k)} \end{aligned} \right . ⎩⎨⎧​∣λ1​∣=1≤1≤nmax​∣xi(k)​∣V1​=Y(k)​ Y ( k ) Y^{(k)} Y(k) 是将 X ( k ) X^{(k)} X(k)进行归一化处理后的结果

引入矩阵 B B B B = A − λ 0 I B=A-\lambda_0I B=A−λ0​I 那么对应 B B B矩阵的特征值就是 λ b = λ a − λ 0 \lambda_b=\lambda_a-\lambda_0 λb​=λa​−λ0​ 且对应特征特征值的特征向量相等

故可以放大 r = λ 1 λ 2 r=\frac{\lambda_1}{\lambda_2} r=λ2​λ1​​ 对应矩阵B使用幂法加速

对应矩阵 B B B的加速常数 r r r,有 r = max ⁡ { ∣ λ 2 − λ 0 λ 1 − λ 0 ∣ , ∣ λ n − λ 0 λ 1 − λ 0 ∣ } r=\max\left\{ |\frac{\lambda_2-\lambda_0}{\lambda_1-\lambda_0}|, |\frac{\lambda_n-\lambda_0}{\lambda_1-\lambda_0}| \right\} r=max{∣λ1​−λ0​λ2​−λ0​​∣,∣λ1​−λ0​λn​−λ0​​∣} 原点平移加速法 λ 0 \lambda_0 λ0​的选取需要对原来矩阵 A A A的特征值的分布要有一定的了解

反幂法是用来求原矩阵的最小的特征值

已知 A − 1 A^{-1} A−1的特征值为 1 λ 1 , 1 λ 2 , 1 λ 3 , ⋯ \frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\frac{1}{\lambda_3},\cdots λ1​1​,λ2​1​,λ3​1​,⋯ 故将幂等法的式子改为 x ( k + 1 ) = A − 1 x ( k ) 实 际 求 解 工 程 中 避 免 求 逆 的 可 以 采 用 A x ( k + 1 ) = x ( k ) 解 方 程 来 写 x^{(k+1)}=A^{-1}x^{(k)}\\ 实际求解工程中避免求逆的可以采用\quad{}Ax^{(k+1)}=x^{(k)}解方程来写 x(k+1)=A−1x(k)实际求解工程中避免求逆的可以采用Ax(k+1)=x(k)解方程来写 解方程则可以用到LRU方法将系数矩阵进行分解