两个原因让我想写这篇文章，一是做矩阵题目的时候就发现这三货经常绑在一起，让人想去探寻其中奥秘；另一就是今天学了向量组的秩，让我想起来了之前遗留下来的一个问题：到底存不存在系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之差比 1 大的情况？可能这个问题有点抽象，不过看了下面的具体说明应该就能理解了。

问题起因是这样，我在写行列式的文章中关于克莱姆法则应用的说法是这样的：

有读者建议，把方程组无解的情况写成 r ( A ) + 1 = r ( A ‾ ) r(A) +1 = r(\overline{A}) r(A)+1=r(A) 而非写成 r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) r(A) \ne r(\overline{A}) r(A)=r(A) 。 我当时还未复习到方程组和向量部分，有这样的疑问：为什么非得是相差 1 ，我如果 A A A 有很多行为 0 ，增广矩阵的秩不就可以比系数矩阵大不止 1 吗？

我当时隐约感觉是行秩和列秩模糊的问题。一方面矩阵中，我们比较常用的是初等行变换，忽视了列变换以及列秩，另一方面，列秩在方阵中和行秩是一样的。

起初我也是认为，列秩没什么用的，直到学到了向量这一部分。由于一般我们指的向量是列向量，那么由一个向量组构成的矩阵，自然考虑的是列秩。

因此我们针对一个一般性的 m × n m \times n m×n 矩阵和 n n n 个 m m m 维的向量组进行梳理，请看下文。

对于一般齐次线性方程组：

以及一般非齐次线性方程组：

令 α 1 = ( a 11 , a 21 , … , a m 1 ) T , α 2 = ( a 12 , a 22 , … , a m 2 ) T , … , α n = ( a 1 n , a 2 n , … , a m n ) T , b = ( b 1 , b 2 , … , b m ) T \alpha_1=(a_{11},a_{21},\dots,a_{m1})^T,\alpha_2=(a_{12},a_{22},\dots,a_{m2})^T,\dots,\alpha_n=(a_{1n},a_{2n},\dots,a_{mn})^T,\pmb{b}=(b_{1},b_{2},\dots,b_{m})^T α1​=(a11​,a21​,…,am1​)T,α2​=(a12​,a22​,…,am2​)T,…,αn​=(a1n​,a2n​,…,amn​)T,b=(b1​,b2​,…,bm​)T ，则方程组（I）（II）可表示为如下向量形式： x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = 0 （ 1.1 ） x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=0 （1.1） x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=0（1.1） x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = b （ 2.1 ） x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=b （2.1） x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=b（2.1）

令 X = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T X=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T X=(x1​,x2​,…,xn​)T ，矩阵 A = [ α 1 , α 2 , … , α n ] A=[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n] A=[α1​,α2​,…,αn​] ，即 则方程组（I）（II）可表示为如下矩阵形式： A X = 0 （ 1.2 ） AX=0（1.2） AX=0（1.2） A X = b （ 2.2 ） AX=b（2.2） AX=b（2.2）

对于齐次线性方程组（I），它有 m m m 个约束方程， n n n 个未知数。首先我们应了解的是，不管方程个数和未知数个数多少，不可能无解，都是存在零解的。我们要讨论，就是讨论有没有非零解。我们分三种情况：

（一） m < n . m < n. m