注：本方法只适用于存在有理数根的情况

先来一个实例吧

3x^3+5x^2+10x-4=0

考虑到一般考题中解不会太复杂，我们假定解是一个分数，且它的最简形式是 \frac{p}{q}

把 3x^3+5x^2+10x=4 转化一下，也就是 3p^3+5p^2q+10pq^2=4q^3

设 K=4q^2-10pq-5p^2，那么我们可以得到 3p^3=Kq

p 和 q 互质，而等式两边相等，显然 q=3 且 K=p^3

把这个带回 K 的定义式，也就是 p^3=36-30p-5p^2

检验小于 3 的整数，易知 p=1 时成立

得 x=\frac{1}{3} 是一个解，所以原式可以被 3x-1 整除，因式分解

(3x-1)(x^2+2x+4)=0

所以 x_1=\frac{1}{3},-1\pm\sqrt3i

再来一个例子 6x^3+19x^2-8x-10=0

同样化成 6p^3+19p^2q-8pq^2-10q^3=0

6p^3=Kq ，其中 K=10q^2+8pq-19p^2

这时有三种可能

q=2,K=3\times p^3

q=3,K=2\times p^3

q=6,K= p^3

依次检验即可，解得 x=\frac{5}{6}

所以 (6x-5)(x^2+4x+2)=0

x=\frac{5}{6},-2\pm2\sqrt3

做到这里的读者可能找到规律了。

解的最简分数形式的分母一定是最高次项的因数

那么分子呢？

分子是一样的道理的，区别在于分子一定是最低次数项的因数

证明留给大家，思路差不多

那么我们再做一道

7x^3+65x^2-43x-5=0

根据推论，解的分母一定是 7

常数项 5 的因数有 -5,-1,1,5 ，它们作为解的分子存在。

这里有个小技巧，设 f(x)=7x^3+65x^2-43x-5

易知 f(0)\cdot f(1)