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解方程
解是什么?
解是一个可以代入变量(例如x) 从而使得方程 正确 的值。 例子:x − 2 = 4当我们把 6 代入 x,我们得到: 6 − 2 = 4, 这是正确的 故此,x = 6是这个方程的一个解。 那么x的其他值呢? 以 x=5,答案是"5−2=4"。这是不正确的,故此,x=5 不是这个方程的解。 以 x=9,答案是 "9−2=4",这是不正确的,故此,x=9 不是这个方程的解。 依此类推x = 6 是这个方程唯一的解。 多于一个解但方程可以有多于一个的解。 例子:(x−3)(x−2) = 0当 x 是 3: (3−3)(3−2) = 0 × 1 = 0 这是正确的 并且,当 x 是 2: (2−3)(2−2) = (−1) × 0 = 0 这是正确的 所以解是 x = 3, 或 x = 2 所有的解集合在一起叫解集 到处都是解!有些方程不论代入什么值都是正确的,这些方程叫恒等(式) 例子:这是一个三角恒等: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) 怎样解方程没有"单一完美"的方法去解所有的方程。 有用的目标一个通常可行的方法是以把方程化为以下格式为目标: x = 某物 换句话说,把除了"x"(变量的名)以外的所有东西都移到右边。 例子:解 3x−6 = 9 开始 3x−6 = 9 每边加 6: 3x = 9+6 除以 3: x = (9+6)/3我们得到 x = 某物了, 通过简单的计算,我们的答案是 x = 5 像解谜题一样实际上,解方程跟解谜题差不多。正如解谜题一样,我们有些东西可以做,有些东西不可以做。 这是一些可以做的: 分式方程整式化:把方程的每项乘以分数的下面的数。 每边加或减等值。 每项除以不等于零的等值。 合并同类项 因式分解 识别规律,例如平方差 有时我们可以在每边应用同一函数(例如取平方)。 例子:解 √(x/2) = 3 开始 √(x/2) = 3 每边取平方: x/2 = 32 32 = 9: x/2 = 9 每边乘以 2: x = 18懂得越多"窍门"和技巧,解方程的能力就越好。 检验得到的解一定要检验你所得到的"解"真的是个解。 怎样检验把解(一个或多个)代入原来的方程来看是不是正确的。 例子:求 x:2xx − 3 + 3 = 6x − 3 (x≠3) 我们说x≠3,因为不能除以零。 全部乘以 (x − 3): 2x + 3(x−3) = 6 把 6 移到左边: 2x + 3(x−3) − 6 = 0 展开,解: 2x + 3x − 9 − 6 = 0 5x − 15 = 0 5(x − 3) = 0 x − 3 = 0 解是 x=3 检验: 2 × 3 3 − 3 + 3 = 6 3 − 3 慢着! 除以零了! 我们在上面已经说过 x≠3,所以…… x = 3 不行。故此…… 没有解!(方程真没解的!) 这有意思……我们以为找到一个解了,可是再看看问题就发觉那个解是不允许的! 这个故事的寓意是: "解方程"只能给我们可能的解,我们一定要用检验来确定! 提示 写下所有未定义的东西(例如除以零、负数的平方根或其他) 列出所有步骤,以便自己或他人检验。代数――基本定义 代数索引 |
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