摘要： 在本课中，我们将深入探讨运动学的关键概念。我们将从对位置、速度和加速度基本定义的详细回顾开始，接着详细探讨如何将位置表示为时间的函数。我们还将分析如何从不同观察者的视角解释这些位置，以便更好地理解相对位置及其在物理空间中的测量。

此外，我们将区分瞬时速度和平均速度，并详细解释如何计算这两者。我们将讨论速度作为位置的时间导数是如何提供有关位置在每个瞬间如何变化的关键信息。

同样，我们将讨论加速度的瞬时形式和平均形式，强调其重要性及其与时间推移中速度变化的关系。最后，我们将专注于推导准确描述匀加速运动的对象的方程。这些方程在运动学研究中是基本的，是预测任何特定时刻的位置、速度和加速度的关键工具。

学习目标： 完成本课程后，学生将能够：

内容索引 引言 位置、空间和观察者 速度与快速 加速度 路径方程 结论

通过对时间的积分可以从加速度计算出速度和位置，而通过对时间的导数可以从位置计算出速度和加速度。这些词汇总结了我们将要探讨的运动学内容，理解这些概念的含义是我们的主要目标之一。运动代表变化的一种形式，自然界中的一切都在变化。因此，研究变化及其变化规律是物理学的基本支柱。

许多变量都可能变化：新的变旧，可以从一种职业转变到另一种，从健康变为疾病或反之，从白天变为黑夜等。这些都是变化的例子，但在研究运动学时，我们将重点关注一个特定的变化：位置或运动的变化。在运动的研究中，我们可以看到两种互补的视角：一种是基于产生运动的原因，另一种是基于运动的发展方式，这导致了动力学和运动学的产生，它们共同构成了力学。

在物理学中，我们将物理空间建模为向量空间，以便于对位置、速度和加速度等概念进行数学表示。通常，我们使用三维空间\mathbb{R}^3来实现这一目的，尽管理论上，任何维度的空间都可以根据上下文来适当选择。

考虑一个函数

\begin{array}{rll} \vec{r}:\mathbb{R}[T]&\longrightarrow&\mathbb{R}^n[L] \\ t &\longmapsto&\vec{r}(t) \end{array}

这是一个将每个t\in\mathbb{R}赋予一个位置\vec{r}(t)的函数，因此，我们说这是一个位置函数（或简称为位置）。独立变量t表示“时间”，参数n对应于空间的“维度”。符号[T]和[L]分别指的是时间和长度的物理维度，通常以“秒”和“米”为单位。

位置，作为一种物理量，是由观察者测量的。在我所给出的位置描述中，我隐含地假设了观察者具有零向量的坐标，\vec{0}. 如果观察者\mathcal{O}具有向量\vec{r}的坐标，而点对象具有坐标\vec{r}^\prime,那么相对于观察者的相对位置将是：

\vec{r}_\mathcal{O} = \vec{r} - \vec{r}^\prime

空间是所有可能位置的集合，也是相对于任何观察者的所有可能相对位置的集合。位置是时间的函数，用于数学上表示称为“点对象”的理想对象在每个时刻t所处的位置。点对象是一种理想化，是当我们去除一个实际对象的所有属性，包括大小和形状，仅保留它在空间中“占据的位置”时所剩下的东西。

位置通常是一个向量。向量由两个元素组成：大小和方向。相对于观察者的位置的大小是到观察者的距离，由dist_\mathcal{O}(t)=\|\vec{r}_\mathcal{O}(t)\|.给出。

从这一点开始，强烈建议掌握微积分微分和积分课程的内容。

如果位置可以对时间导数化，那么可以定义相对于观察者\mathcal{O},的速度\vec{v}_\mathcal{O}(t),为：

\vec{v}_\mathcal{O}(t) =\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\vec{r}_\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{r}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}_\mathcal{O}(t)}{dt}

简单地说：速度是位置的时间导数，它告诉我们位置在每个时刻t.如何变化。

存在两种类型的速度：瞬时速度和平均速度。刚才提到的是瞬时速度，而平均速度是通过忽略极限计算得到的。在时间间隔\Delta t,的长度上定义平均速度\left< \vec{v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right>,为

\left< \vec{v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = \displaystyle \frac{\vec{r}_\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{r}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t}

其中\overline{t}是时间间隔[t,t+\Delta t].内的任意时刻。

根据速度（无论是瞬时速度还是平均速度）可以定义快速度，即其相应的大小。相对于观察者\mathcal{O}的快速度是v_\mathcal{O}(t)=\|\vec{v}_\mathcal{O}(t)\|,而平均快速度\left< {v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = \|\left< \vec{v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right>\|.

快速度和速度的单位是长度单位除以时间单位，[L/T],通常以“米/秒”表示。

与速度类似，如果速度可以对时间导数化，那么就可以定义相对于观察者\mathcal{O},的加速度\vec{a}_\mathcal{O}(t),为：

\vec{a}_\mathcal{O}(t)= \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\vec{v}_\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{v}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}_\mathcal{O}(t)}{dt}

加速度是速度的时间导数，因此它告诉我们速度如何随时间变化。

类似于速度，我们区分瞬时加速度和平均加速度。瞬时加速度是我们刚刚讨论过的，平均加速度通过忽略极限计算得到。在时间间隔\Delta t,内的平均加速度\left,定义为

\left< \vec{a}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = \displaystyle \frac{\vec{v}_\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{v}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t}

加速度以长度单位除以时间平方单位来衡量，[L/T^2],通常以“米/秒平方”为单位。

假设我们有一个相对于观察者\mathcal{O}以恒定加速度\vec{a}_\mathcal{O}(t) = \vec{a}_0移动的质点。如果从位置可以通过导数得到速度和加速度，那么从加速度可以通过积分计算速度和位置。这样得到的结果称为运动方程。

积分\vec{a}_\mathcal{O}(t) = \vec{a}_0得：

\vec{v}_\mathcal{O}(t) = \displaystyle \int \vec{a}_\mathcal{O}(t) dt = \int \vec{a}_0 dt = \vec{a}_0 t + \vec{v}_0

再次积分得

\vec{r}_\mathcal{O}(t) = \displaystyle \int \vec{v}_\mathcal{O}(t) dt = \int (\vec{a}_0t + \vec{v}_0) dt = \displaystyle \frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2 + \vec{v}_0t+\vec{r}_0

这里，常数\vec{v}_0和\vec{r}_0是积分常数，分别代表质点相对于观察者\mathcal{O}的初始速度和位置。简而言之，运动方程为：

\begin{array}{rl} \vec{a}_\mathcal{O}(t) =& \vec{a}_0 \\ \vec{v}_\mathcal{O}(t) =& \vec{a}_0t+\vec{v}_0 \\ \vec{r}_\mathcal{O}(t) =& \displaystyle \frac{1}{2}\vec{a}_0t^2 + \vec{v}_0t + \vec{r}_0 \end{array}

通过这些方程，可以完整描述任何以恒定加速度移动的质点的运动。因此，从加速度可以通过积分来计算速度和位置，而从位置可以通过导数来计算速度和加速度。

注意这些是向量方程，因此可以分解为它们的分量。如果我们在三维空间中建模运动，则每个分量可以分别表示为：

\begin{array}{rl} \vec{a}_\mathcal{O}(t) &= (a_x(t), a_y(t), a_z(t))\\ \vec{v}_\mathcal{O}(t) &= (v_x(t), v_y(t), v_z(t))\\ \vec{r}_\mathcal{O}(t) &= (x(t), y(t), z(t))\\ \vec{a}_0 &= (a_{0x}, a_{0y}, a_{0z})\\ \vec{v}_0 &= (v_{0x}, v_{0y}, v_{0z})\\ \vec{r}_0 &= (x_{0}, y_{0}, z_{0})\\ \end{array}

从而产生9个方程，每个坐标轴一个。例如，对于\hat{x}轴，我们有

\begin{array}{rl} a_x(t) & = a_{0x}\\ v_x(t) & = a_{0x}t + v_{0x} \\ x(t) & = \displaystyle \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

通常，坐标\hat{z}被用来表示高度，因此假设a_{0z}=-g \approx -9.81[m/s^2];即在该轴的加速度与地球的重力加速度相关。这被包括在方程中，以模拟自由落体或投射物的运动等现象。

在探索运动学的基础过程中，我们了解了数学如何用于描述和理解物理空间中的运动。从将位置表示为任意维度空间中的向量，到对向量函数进行导数和积分以获得速度、加速度和运动方程，我们看到了这些概念是如何相互关联并应用于运动分析的。

运动学通过研究运动而不考虑产生运动的原因，为我们提供了对点物体运动的纯粹和数学上优雅的视角。通过微积分工具，我们可以揭示运动模式并预测未来轨迹，这对于物理学和工程学的许多领域至关重要。

最后，将重力加速度纳入我们的方程中，将引导我们到更具体的应用，如自由落体和发射物的投掷，展示了运动学在我们日常世界中的相关性和适用性。因此，研究运动学不仅仅是一种理论练习，更是理解和操纵我们周围物理世界的基本工具。