对于任何一个国家或地区，可持续发展的核心因素是人口的发展。人口发展研究最早的模型是由英国人口学家马尔萨斯(Malthus)于1798年提出的Malthus模型[1]，其短期预测效果较好，但长期效果较差，因为任何地区的人口数量都不会呈指数式无限增长，一定会受自然资源的限制；于是荷兰生物学家威赫尔斯特(Verhulst)对上述模型[2]进行修正，于1838年提出了阻滞增长的Logistic模型。这2种模型均是假定人口总数变化的时间是连续的，都是确定性模型，若将时间作为离散变量看待时，则适合用随机性人口模型来描述其变化过程，如考虑人口年龄分布的模型等[3]。20世纪70年代我国人口总数激增突破8亿大关，与当时我国资源匮乏、经济发展落后、粮食生产水平较低的国情十分不相适应；国家于1979年出台了“晚婚晚育，少生优生”的独生子女计划生育政策[4-5]，有效地控制了人口数量，缓解了人口增长对资源、环境的压力。随着时间的推移及经济的发展，生活水平及医疗条件的改善，社会人口的年龄结构又发生了新的变化。如生育率持续下降，劳动力人口短缺，独生子女家庭生活风险加重，于是2013年11月开始实施一方为独生子女的夫妇可以生育2个孩子的政策[6]；接着于2016年1月国家又全面实施了1对夫妇可生育2个孩子的政策[7]；随着国际大环境的改变，又在2021年7月公布了“中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定”，开始实施三孩生育政策[8-9]，目的是希望能够有效地解决劳动力供给的问题，也为解决未来养老的问题提供有利的人口环境。

我国地大物博、幅员辽阔，作为历史文化名城、古丝绸之路的起点城市，关中平原城市群的核心城市、“一带一路”的核心区——西安市，人口问题自然也是不可小觑的，为了合理地优化人口结构，西安市于2017年实施了人才引进的政策[10-11]，经过多年运行，人口结构得到了适当的改善。目前影响未来人口数量变化的主要因素有：人口数量和年龄结构；经济社会发展水平和人口政策[12]。因此，对某个地区而言，人口发展的规律不一定能用线性或简单非线性曲线来表达[13-15]。本文拟通过建立灰色数学模型，对西安市不同年龄段人口发展数量的变化过程进行描述、分析和预测，在文献[16-17]的基础上，为制定控制人口增长及人口老龄化的政策提供依据。

灰色系统理论是由华中科技大学邓聚龙[18]于20世纪80年代首创的，主要是针对小样本、贫信息、部分信息已知，而部分信息未确定的系统，通过挖掘系统内的参数数据与分布范围，并对其进行分析和建模，依据模型的解法得到预测结果，推测系统演化发展的规律。

GM(1, 1)模型的构建方法通常是将研究的系列数据作为一个时间序列，对其进行处理分析，因原始数据序列不一定具有单调性，对原始数据序列

经过一次累加生成，即可得到一个单调递增序列

则X1上的一阶灰微分方程为

由X1的生成过程可知，经过一次累减生成又可以还原得到原始数据序列X0，即

实际上，方程(1)是仿照微分方程

建立的，式中：a为发展系数，b为灰作用量。称方程(2)为方程(1)的白化微分方程。

对于发展系数a和灰作用量b，通常使用最小二乘拟合法估计[19]，而估计参数时须用到背景值，其构造方法又会影响灰色模型的精度及适用性。

对方程(2)在[k-1, k]上积分可得

背景值$z^1=\int_{k-1}^k x^1 \mathrm{~d} t$实质上是一个积分，由积分的近似计算则有背景值构造的一般表达式为

若使用背景值的均值生成法，即取λ=0.5时，参数a和b满足矩阵方程Y=BU，其中，

按最小二乘估计法，可得到参数满足

将式(4)估计出来的参数代入(1)，考虑到选择初值x1(1)=x0(1)，则GM(1, 1)模型的时间响应函数为

将式(5)离散化，则生成序列X1的预测值$\hat{X}^1$,

再对预测序列$\hat{X}^1$作一次累减生成，可得到原始序列X0的预测值$\hat{X}^0$，即

最后，对所建立的预测模型进行检验，检测合格说明模型预测的精度好，预测结果可靠，可以用来预测将来的人口数量。

设原始序列X0与预测值序列$\hat{X}^0$在k时刻的残差为

原始序列的均值与方差分别为

残差的均值与方差分别为

作为后验差的检验指标，通常考虑后验差比值$C=\frac{S_2}{S_1}$和小误差概率$P=P\left\{|\varepsilon(k)-\bar{\varepsilon}|＜0.674\ 5 \times S_1\right\}$。

预测精度等级划分如表 1所示。若C < 0.35, P > 0.95，说明模型的检验精度为1级，用模型可以合理地预测未来数据。

根据2021西安市统计年鉴[20]，选取西安市2014—2020年不同年龄段的人口数量，其中，2010和2020年数据根据人口普查数据加工整理得到，2011—2019年根据人口变动抽样调查数据推算得到，自2017年起为纳入西咸新区咸阳片区后的结构。详细分组信息列于表 2。2013年前，幼儿人口数量的比例在逐年减少，直到2014年，单独二孩政策实施后有所反转，幼儿人口数量比例才逐年增加；成年人口数量的比例始终在逐年减少，特别是在2017年时减少的最多，到2020年人口普查时已达新低为73.45%；老年人口数量的比例始终在逐年增加，到2019年比例达到新高为11.69%，按照国际标准，社会人群中65岁及以上人口占比达到7.00%，即为老龄化社会，上述数据表明西安市正在从老龄化社会向深度老龄化过渡。

使用灰色模型预测时，提取表 2中2014—2020年各年龄阶段的人口数量为依据。

以0~14岁的人口数量为原始序列

利用Matlab程序根据式(4)计算得到参数的估计值$\hat{a}=-0.082\ 6, \hat{b}=86.223\ 2$，将估计值代入式(7)可得原始序列的预测值

根据后验差比值的检验方法，经计算有C=0.156 8, P=1，结合表 1说明该预测精度为1级。预测方法比较合理，可以用来预测西安市未来若干年后这个年龄段的人口数量(表 3)。2021—2026年的预测值为161.94~244.72万人。

以15~64岁的人口数量为原始序列

利用Matlab程序也可计算得到$\hat{a}=-0.032\ 4, \hat{b}=585.663\ 4, C=0.304\ 7, P=1$，该预测精度也为1级。

2021—2026年的预测值为748.30~879.93万人。

以65岁及以上的人口数量为原始序列

利用Matlab程序也可计算得到$\hat{a}=-0.051\ 5, \hat{b}=80.072\ 6, C=0.307\ 4, P=1$该预测精度也为1级。

2021—2026年的预测值为117.77~152.33万人。

基于西安市各年龄阶段的人口数量，通过灰色模型的预测和精度的检验，结果表明GM(1, 1)模型对西安市的不同年龄段的人口数量预测精度较高，可信度较大，是一种较好的人口预测方法，可以借用该模型给出未来若干年内，幼儿人口、劳动人口与老龄人口的预测数量。

根据预测结果可知：自2022年起未来若干年内，西安市的幼儿人口数量比例将逐年平均递增0.68%，达到十多年来增幅较大的水平，也充分说明了我国人口政策的作用；成年人口数量比例仍将逐年平均递减0.78%；老年人口数量比例还是逐年递增，但平均递增降低了0.1个百分点。

我国的计划生育政策给西安市带来发展的新契机，虽然幼儿人数逐年递增，但人口老龄化问题依然突出，未来养老形势依然严峻，强烈建议西安市政府：抓住时机进一步调整产业结构，优化资源在全社会的配置，多举措地加强经济建设；适当地调整人口政策及优惠配套措施鼓励生育，同时继续加大人才引进计划，调整人口的年龄结构，促进人口均衡发展；健全社会保障体系，大力发展老年事业，应对人口老龄化问题，鼓励家庭养老，共建老有所养、老有所为、老有所医、老有所乐的和谐社会。