数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:[email protected] 友用数学学院

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: [email protected] 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院

本次课主要内容 线性偏微分方程的基本解 (一)、线性偏微分方程基本解的概念与性质 (二)、三类典型方程的基本解 1、稳态场方程的基本解 2、热传导方程的基本解 3、波动方程的基本解

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 线性偏微分方程的基本解 (一)、线性偏微分方程基本解的概念与性质 (二)、三类典型方程的基本解 1、稳态场方程的基本解 2、热传导方程的基本解 3、波动方程的基本解

(一)、线性偏微分方程基本解的概念与性质 二阶线性偏微方程: Lu=f f=0时,称方程为齐次方程,否则,方程为非齐 次方程。 其中L是关于x1,x2,…,xn的二阶线性偏微分算子 ∑ +2∑b。+c i,j=1 a Cx

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 其中L是关于x1 ,x2 ,….,xn的二阶线性偏微分算子 二阶线性偏微方程： f=0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐 次方程。 (一)、线性偏微分方程基本解的概念与性质 Lu = f 2 , 1 1 2 n n ij i i j i i j i L a b c = = x x x   = + +     

(1)、定义:方程【L=-(M) 的解U称为方程D==f(M)的基本解 (2)、性质 定理1:若U是方程L=-f(M)的基本解 且u是L=0解,则uU是方程 的基本解。且方程所有基本解均有形式: u+U。 证明:因为: L(u+U)Lu +LU=+LUE-S(M)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 (1)、定义：方程 Lu M = − ( ) 的解U称为方程 Lu f M = − ( ) 的基本解. (2)、性质 定理1：若U是方程 的基本解， 且u是 的解，则u+U是方程 的基本解。且方程所有基本解均有形式： u+U。 Lu f M = − ( ) Lu = 0 证明：因为： L u U Lu LU ( + = + ) = +0 LU = − ( ) M

所以,u+U是基本解。 又由线性偏微分方程解的结构定理得定理的后 结论 定理2:若f(M)是连续函数,U(M)满足方程: LU=-δ(M 则如下卷积 U*f=SSUM-Mo)(ModMo 是方程LU=-f(M)的解

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 所以，u+U是基本解。 又由线性偏微分方程解的结构定理得定理的后 一结论。 定理2：若f(M)是连续函数，U(M)满足方程： 则如下卷积 LU M = − ( ) 3 * ( ) ( ) 0 0 0 R U f U M M f M dM = −  是方程 LU f M = − ( ) 的解