在康托尔集合中，元素属于集合和不属于集合是确定的。但在有些情况下，集合的定义不能一刀切。例如，年轻人和老年人，每个人对年轻年老的定义不同，有的人认为30岁以内算年轻，有的人认为18岁才是花样少年。因此，扎德先生于1965年提出模糊集理论。

模糊集 A A A中的任意一个元素 u ∈ U u\in U u∈U，都有唯一对应的实数 μ A ( u ) ∈ [ 0 , 1 ] \mu_A(u) \in [0,1] μA​(u)∈[0,1]，表示元素 u u u隶属于集合 A A A的程度。即我们可以定义如下的映射 μ A : U → [ 0 , 1 ] ,   u → μ A ( u ) \mu_A: U \to [0,1], \ u \to \mu_A(u) μA​:U→[0,1], u→μA​(u) μ A \mu_A μA​称为模糊集合 A A A的隶属函数。 一个问题中隶属函数的定义是模糊集的根本。 全集 U U U的模糊密集记为 F ( U ) \mathcal F(U) F(U)。

对应于康托尔集合，若元素 u ∈ A u \in A u∈A，则 μ A ( u ) = 1 \mu_A(u)=1 μA​(u)=1，反之 μ A ( u ) = 0 \mu_A(u)=0 μA​(u)=0，因此康托尔集是模糊集的特殊形式。

扎德先生根据人的年龄，定义了年轻（ Y Y Y）和年老（ O O O）两个模糊集，全集 U = [ 0 , 100 ] U=[0,100] U=[0,100]。

年轻集的隶属函数 μ Y ( u ) \mu_Y(u) μY​(u)定义如下 μ Y ( u ) = { 1 , u ∈ [ 0 , 25 ] , 1 1 + ( u − 25 5 ) 2 , u ∈ ( 25 , 100 ] \mu_Y(u)=\left\{\begin{aligned} &1 , && u\in [0,25], \\ &\frac{1}{1+\left(\frac{u-25}{5}\right)^2} , && u \in (25,100] \end{aligned} \right. μY​(u)=⎩⎪⎨⎪⎧​​1,1+(5u−25​)21​,​​u∈[0,25],u∈(25,100]​

年老集的隶属度函数 μ O ( u ) \mu_O(u) μO​(u)定义如下 μ O ( u ) = { 0 , u ∈ [ 0 , 50 ] , 1 1 + ( u − 50 5 ) − 2 , u ∈ ( 50 , 100 ] \mu_O(u)=\left\{\begin{aligned} &0 , && u\in [0,50], \\ &\frac{1}{1+\left(\frac{u-50}{5}\right)^{-2}} , && u \in (50,100] \end{aligned} \right. μO​(u)=⎩⎪⎨⎪⎧​​0,1+(5u−50​)−21​,​​u∈[0,50],u∈(50,100]​

Li, Hong-xing. Fuzzy Systems To Quantum Mechanics. Vol. 87. World Scientific, 2020.