在计算机内部，所有信息都是用二进制数串的形式表示的。整数通常都有正负之分，计算机中的整数分为无符号的和带符号的。无符号的整数用来表示0和正整数， 带符号的证书可以表示所有的整数。由于计算机中符号和数字一样，都必须用二进制数串来表示，因此，正负号也必须用0、1来表示。通常我们用最高的有效位来 表示数的符号（当用8位来表示一个整数时，第8位即为最高有效位，当用16位来表示一个整数时，第16位即为最高有效位。）0表示正号、1表示负号，这种 正负号数字化的机内表示形式就称为“机器数”，而相应的机器外部用正负号表示的数称为“真值”。将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。

    无符号数没有原码、反码和补码一说。只有带符号数才存在不同的编码方式。

带符号整数有原码、反码、补码等几种编码方式。原码即直接将真值转换为其相应的二进制形式，而反码和补码是对原码进行某种转换编码方式。正整数的原 码、反码和补码都一样，负数的反码是对原码的除符号位外的其他位进行取反后的结果（取反即如果该位为0则变为1，而该位为1则变为0的操作）。而补码是先 求原码的反码，然后在反码的末尾位加1 后得到的结果，即补码是反码+1。IBM-PC中带符号整数都采用补码形式表示。（注意，只是带符号的整数采用补码存储表示的，浮点数另有其存储方式。）

    采用补码的原因或好处如下。

    采用补码运算具有如下两个特征：

    1）因为使用补码可以将符号位和其他位统一处理，同时，减法也可以按加法来处理，即如果是补码表示的数，不管是加减法都直接用加法运算即可实现。

    2）两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。

    这样的运算有两个好处：

    1）使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则。从而可以简化运算器的结构，提高运算速度；（减法运算可以用加法运算表示出来。）

    2）加法运算比减法运算更易于实现。使减法运算转换为加法运算，进一步简化运算器线路设计。

    下面深入分析上面所陈述的采用补码的原因（目的）。

    用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题，如下：假设字长为8bits

    1  D- 1 D = 1 D + ( -1 )D = ( 0 )D

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.。

    因为在两个整数的加法运算中是没有问题的，于是就发现问题出现在带符号位的负数身上，对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应。下面是反码的减法运算：

      1  D- 1 D = 1 D + ( -1 )D = ( 0 )D

     (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题。

      1  D - 2 D= 1 D+ ( -2 )D = ( -1 )D

     (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确

    问题出现在(+0)和(-0)上，在人们的计算概念中零是没有正负之分的。

于是就引入了补码概念。负数的补码就是对反码加一，而正数不变，正数的原码反码补码是一样的。在补码中用(-128)代替了(-0)，所以补码的表示范围为：

(-128~0~127)共256个。

    采用补码表示还有另外一个原因，那就是为了防止0的机器数有两个编码。原码和反码表示的0有两种形式+0和-0，而我们知道，+0和-0是相同的。这 样，8位的原码和反码表示的整数的范围就是-127~+127（11111111~01111111），而采用补码表示的时候，00000000是+0， 即0；10000000不再是-0，而是-128，这样，补码表示的数的范围就是-128~+127了，不但增加了一个数得表示范围，而且还保证了0编码 的唯一性。

接下来的问题是，如何能将减法运算转换成加法运算呢？

    我们已经知道，原码表示简单直观，与真值转换容易。但如果用原码表示，其符号位不能参加运算。在计算机中用原码实现算术运算时，要取绝对值参加运算，符号位单独处理，这对乘除运算是很容易实现的，但对加减运算是非常不方便的，如两个异号数相加，实际是要做减法，而两个异号数相减，实际是要做加法。在做减法时，还要判断操作数绝对值的大小，这些都会使运算器的设计变得很复杂。而补码这种编码方式实际上正是针对上述问题的。通过用补码进行表示，就可以把减法运算化为加法运算。

    在日常生活中，有许多化减为加的例子。例如，时钟是逢12进位，12点也可看作0点。当将时针从10点调整到5点时有以下两种方法：

    一种方法是时针逆时针方向拨5格，相当于做减法：

        10－5＝5

    另一种方法是时针顺时针方向拨7格，相当于做加法：

      10＋7＝12＋5＝5    (MOD 12)

    这是由于时钟以12 为模，在这个前提下，当和超过12时，可将12舍去。于是，减5相当于加7。同理，减4可表示成加8，减3可表示成加9，…。

    在数学中，用“同余”概念描述上述关系，即两整数A、B用同一个正整数M (M称为模)去除而余数相等，则称A、B对M同余，记作：

       A＝B     (MOD M)

    具有同余关系的两个数为互补关系，其中一个称为另一个的补码。当M＝12时，－5和＋7，－4和＋8，－3和＋9就是同余的，它们互为补码。

    从同余的概念和上述时钟的例子，不难得出结论：对于某一确定的模，用某数减去小于模的另一个数，总可以用加上“模减去该数绝对值的差”来代替。因此，在有模运算中，减法就可以化作加法来做。

    可以看出，补码的加法运算所依据的基本关系为：

[x]补+ [y]补= [x+y]补

    补码减法所依据的基本关系式：

[x-y]补 =[x+(-y)]补= [x]补+ [-y]补  

    至于加法运算为什么比减法运算易于实现以及CPU如何实现各种算术运算等问题，则需要通过对数字电路的学习来理解CPU的运算器的硬件实现问题的相关内容了。

五.

1.一个二进制数的补码的补码就是原码！！！

比如：真值-3，原码1000 0011，补码1111 1101，

原码1111 1101，补码1000 0011。 

也可以从补码的数学含义理解。

2.几个特殊的补码记忆：（一般是8位，不是8位和8的倍数位的，在实际应用中没有意义，所以一般都是变换成成8位的二进制数。因为实际应用中，一般都是补码表示，所以着重记忆补码）

     0的补码是0000 0000

    -1的补码是1111 1111    -1的原码是1000 0001

-128的补码是1000 0000

+1的补码是其原码。

+1~+127的补码都是原码。补码逐渐加一。

-1~-127的补码都是其反码加一。补码逐渐加一。

虽然补码的原码是多少 不够直观，但是补码反映出的负数的大小是直观的，补码大小顺序和真值保持一致。

负数真值中，-1最大，-128最小，

负数补码中，-1补码是1111 1111，...，-127补码是1000 0001，-128补码是1000 0000，

在负数的补码中，直观上可以看出，-1的补码是最大的：1111 1111， -128的补码是最小的：1000 0000。

3.

80H的补码是多少？

因为有补码，所以是有符号数。80H即原码1000 0000，即真值-0，所以80H的补码是0000 0000。

 六.+128

8位二进制数时，表示不下+128，16位二进制数时可以表示。因为+128=0001 0000 0000

8位二进制数的原码范围是-127~-0，+0,~127，反码是-127~-0，+0~+127，补码范围是-128~0~+127。范围都是256个整数。

不包括+128。-128也只在补码表示中有。-128的原码和反码在8位二进制数时也都没有，在16位及以上可以表示。

七.探究求补码的最好的方法

-0的原码是 1000 0000，反码 1111 1111， 补码 0000 0000，可以反码加一，可以对-1求补操作。

-3的原码是 1000 0011，反码 1111 1100 ，补码 1111 1101，可以反码加一，可以对-3求补操作。

-128原码是 没有            反码 没有              补码 1000 0000                      可以对-128求补操作。

由上面三个例子可以看出，求补码的最快捷的方法，第一位不变什么的 只适用于不是-1 -128的大部分数！

最统一的方法，应该是：

有反码的，反码加一（其中，符号位有进位的 舍弃符号位 只保留数值位。比如-0的补码。更重要的是-0的补码 是规定），或者求补操作。

没有反码的，求补操作。比如-128。

所以说，求补操作，才是对-128~+127唯一全部使用的求补码的方法。

这样也就解释了，为什么所有补码都可以用补码减法运算了，因为求补操作对所有真值都适用。

求补操作：就是求（负数的）补码

求补操作：不管符号位（不是符号位保持不变！也不是第一位保持不变！就是只用负数的绝对值，根本没用到符号位），取负数（真值）的绝对值（即将负数的符号位变为0），对绝对值按位取反（可以认为绝对值是无符号数），然后加一。就得到了负数的补码。

求补操作对于求-0，-128也都适用。

例子：求3CH-90H。分为有符号数和无符号数时。

           0011 1100             

       -  1001 0000

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3CH 和90H 不是真值！只有十进制是真值，而 十六进制或者八进制 都是为了书写二进制码方便。所以才说3CH可能是无符号数 也可能是有符号数！

3CH 和90H 就是两个二进制码！这两个二进制码可能是无符号数或者有符号数！

二进制码（二进制数）分为有符号数和无符号数。

有符号数时，X-Y=X+（-Y）补，所以，求-90H的补码，即求-1001 0000的补码。即对-1001 0000求补操作！不是对1001 0000求补操作！90H是绝对值，-90H是真值，1001 0000是绝对值的二进制码。

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这里解释一下题目要求的意思：

（1）机器只认识二进制。十六进制和八进制是为了人书写简洁而设立的。

（2）有符号数和无符号数说的都是二进制数（二进制码）。

3CH的二进制码是唯一的，但是当它是有符号数时和是无符号数时 的真值显然是不同的。