将矩阵行中最接近全零行的行调整到第一行

利用第一行将第一列到最后一列尽可能的零化(使得结果满足特点1,2)

A = ( 3 1 5 6 1 − 1 3 − 2 2 1 3 5 1 1 1 1 ) → r 1 ↔ r 4 ( 1 1 1 1 1 − 1 3 − 2 2 1 3 5 3 1 5 6 ) → r 2 − r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − 3 r 1 ( 1 1 1 1 0 − 2 2 − 3 0 − 1 1 3 0 − 2 2 3 ) → r 2 ↔ r 3 ( 1 1 1 1 0 − 1 1 3 0 − 2 2 − 3 0 − 2 2 3 ) → r 3 − 2 r 2 r 4 − 2 r 2 ( 1 1 1 1 0 − 1 1 3 0 0 0 − 9 0 0 0 − 3 ) → − 1 9 r 3 ( 1 1 1 1 0 − 1 1 3 0 0 0 1 0 0 0 − 3 ) → r 4 + 3 r 3 ( 1 1 1 1 0 − 1 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 ) A=\left( \begin{matrix} 3& 1& 5& 6\\ 1& -1& 3& -2\\ 2& 1& 3& 5\\ 1& 1& 1& 1\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_4}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 3& -2\\ 2& 1& 3& 5\\ 3& 1& 5& 6\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{array}{c} r_2-r_1\\ r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\ \end{array}} \\ \left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -2& 2& -3\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& -2& 2& 3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& -2& 2& -3\\ 0& -2& 2& 3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{array}{c} r_3-2r_2\\ r_4-2r_2\\ \end{array}} \\ \left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& -9\\ 0& 0& 0& -3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{-\frac{1}{9}r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& -3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_4+3r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) A= ​3121​1−111​5331​6−251​ ​r1​↔r4​ ​ ​1123​1−111​1335​1−256​ ​r2​−r1​r3​−2r1​r4​−3r1​​ ​ ​1000​1−2−1−2​1212​1−333​ ​r2​↔r3​ ​ ​1000​1−1−2−2​1122​13−33​ ​r3​−2r2​r4​−2r2​​ ​ ​1000​1−100​1100​13−9−3​ ​−91​r3​ ​ ​1000​1−100​1100​131−3​ ​r4​+3r3​ ​ ​1000​1−100​1100​1310​ ​

行阶梯形矩阵的条件比较宽松,同一个矩阵化为行阶梯型矩阵的结果可以是多种多样的

从一般行阶梯形矩阵化为行简化矩阵(最简矩阵)的过程(中间结果矩阵)都是行阶梯形矩阵

但是最简形式是一样的(行简化阶梯形矩阵)