逆序数关系到行列式的值的计算，使用 t t t表示，下面以例子讲解逆序数的计算。

求排列32514的逆序数。 解： 第一个数是3,后面比3小的数有2､1共两个，所以 t 1 = 2 t_1=2 t1​=2； 第二个数是2,后面比2小的数只有1,所以 t 2 = 1 t_2=1 t2​=1； 第三个数是5,后面比5小的数有1､4共两个，所以 t 3 = 2 t_3=2 t3​=2； 第四个数是1,后面没有比1小的数,所以 t 4 = 0 t_4=0 t4​=0； 最后一个数是4,后面没有数了，所以不需要计算最后一个数的逆序数。 所以该排序的逆序数为 t = t 1 + t 2 + t 3 + t 4 = 5 t=t_1+t_2+t_3+t_4=5 t=t1​+t2​+t3​+t4​=5。

性质1:行列式与它的转置行列式相等。 D = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ , D T = ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ , D = D T D=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21}; a_{22} ; a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right|, D^T=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{21} ; a_{31} \\ a_{12}; a_{22} ; a_{32} \\ a_{13} ; a_{23} ; a_{33} \end{array} \right|,D=D^T D=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​,DT=∣∣∣∣∣∣​a11​a12​a13​​a21​a22​a23​​a31​a32​a33​​∣∣∣∣∣∣​,D=DT

性质2:对换行列式的两行(列)，行列式变号。 第一行第二行对换： ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = − ∣ a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 ∣ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21}; a_{22} ; a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right|=-\left| \begin{array}{ccc} a_{21}; a_{22} ; a_{23} \\ a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=−∣∣∣∣∣∣​a21​a11​a31​​a22​a12​a32​​a23​a13​a33​​∣∣∣∣∣∣​

性质3:行列式的某一行中所有元素都乘同一数k，等于用数k乘以此行列式。 ∣ a 11 a 12 a 13 k ∗ a 21 k ∗ a 22 k ∗ a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = k ∗ ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ k*a_{21}; k*a_{22} ; k*a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right| = k*\left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21}; a_{22} ; a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣​a11​k∗a21​a31​​a12​k∗a22​a32​​a13​k∗a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=k∗∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​

性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于0; 第一行与第二行元素成比例： ∣ a 11 a 12 a 13 k ∗ a 11 k ∗ a 12 k ∗ a 13 a 31 a 32 a 33 ∣ = 0 \left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ k*a_{11}; k*a_{12} ; k*a_{13} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right|=0 ∣∣∣∣∣∣​a11​k∗a11​a31​​a12​k∗a12​a32​​a13​k∗a13​a33​​∣∣∣∣∣∣​=0

性质5: ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 + a 21 ′ a 22 + a 22 ′ a 23 + a 23 ′ a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ + ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 ′ a 22 ′ a 23 ′ a 31 a 32 a 33 ∣ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21}+a_{21}^{'} ; a_{22}+a_{22}^{'} ; a_{23}+a_{23}^{'} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21} ; a_{22} ; a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right|+ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21}^{'} ; a_{22}^{'} ; a_{23}^{'} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣​a11​a21​+a21′​a31​​a12​a22​+a22′​a32​​a13​a23​+a23′​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣​a11​a21′​a31​​a12​a22′​a32​​a13​a23′​a33​​∣∣∣∣∣∣​

性质6:把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变 第一行加到第二行： ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 12 a 13 k ∗ a 11 + a 21 k ∗ a 12 + a 22 k ∗ a 13 + a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21}; a_{22} ; a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right|=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ k*a_{11} +a_{21}; k*a_{12} +a_{22} ; k*a_{13} + a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​a11​k∗a11​+a21​a31​​a12​k∗a12​+a22​a32​​a13​k∗a13​+a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​

已知行列式： D = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ D=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21}; a_{22} ; a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right| D=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​ 那么， a 12 a_{12} a12​的余子式为： M 12 = ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ M_{12}=\left| \begin{array}{ccc} a_{21}; a_{23} \\ a_{31} ; a_{33} \end{array} \right| M12​=∣∣∣∣​a21​a31​​a23​a33​​∣∣∣∣​ 代数余子式为： A 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∗ M 12 = − M 12 A_{12}=(-1)^{1+2}*M_{12}=-M_{12} A12​=(−1)1+2∗M12​=−M12​

定理：行列式等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和。 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ∗ A 11 + a 12 ∗ A 12 + a 13 ∗ A 13 \left| \begin{array}{ccc} a_{11} ; a_{12} ; a_{13} \\ a_{21}; a_{22} ; a_{23} \\ a_{31} ; a_{32} ; a_{33} \end{array} \right|=a_{11}*A_{11}+a_{12}*A_{12}+a_{13}*A_{13} ∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=a11​∗A11​+a12​∗A12​+a13​∗A13​

D = ∣ 1 1 . . . 1 x 1 x 2 . . . x n x 1 2 x 2 2 . . . x n 2 . . . . . . . . . x 1 n − 1 x 2 n − 1 . . . x n n − 1 ∣ = ∏ n ≥ i ; j ≥ 1 ( x i − x j ) D=\left| \begin{array}{ccc} 1; 1 ; ... ; 1 \\ x_1; x_2 ; ... ; x_n \\ x_1^2 ; x_2^2 ; ... ; x_n^2 \\ ...;...; ;...; \\ x_1^{n-1} ; x_2^{n-1} ; ... ; x_n^{n-1} \end{array} \right|=\prod_{n≥i;j≥1}(x_i-x_j) D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1x1​x12​...x1n−1​​1x2​x22​...x2n−1​​............​1xn​xn2​...xnn−1​​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=n≥i>j≥1∏​(xi​−xj​)

例如： D = ∣ 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 3 ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( c − b ) D=\left| \begin{array}{ccc} 1; 1; 1 \\ a; b ; c \\ a^2 ; b^2 ; c^3 \end{array} \right|=(b-a)(c-a)(c-b) D=∣∣∣∣∣∣​1aa2​1bb2​1cc3​∣∣∣∣∣∣​=(b−a)(c−a)(c−b)