本篇笔记介绍行列式的计算方法，如果行列式中的0比较少，一般先使用行列式的性质（常用性质2和性质7）将其化成上三角行列式。尽量将左上角元素先变为1或-1，避免出现分数。求余子式或代数余子式时，往往需要构造与其对应的行列式，并转化为求新行列式的值。涉及符号运算的 n n n阶行列式，解题技巧是“构造行和”，然后化为特殊形式（如上三角、下三角或对角型）的行列式进行求值。

D = ∣ 2 1 7 − 1 − 1 2 4 3 2 1 0 − 1 3 2 2 1 ∣ D=\begin{vmatrix} 2&1&7&-1\\ -1&2&4&3\\ 2&1&0&-1\\ 3&2&2&1\\ \end{vmatrix} D= ​2−123​1212​7402​−13−11​ ​

思路：如果行列式中的0比较少，一般先化成上三角行列式。

解：交换第1列和第2列（变号）： D = − ∣ 1 2 7 − 1 2 − 1 4 3 1 2 0 − 1 2 3 2 1 ∣ D=-\begin{vmatrix} 1&2&7&-1\\ 2&-1&4&3\\ 1&2&0&-1\\ 2&3&2&1\\ \end{vmatrix} D=− ​1212​2−123​7402​−13−11​ ​

第1行×(-2)加到第2行，第1行×(-1)加到第3行，第1行×(-2)加到第4行： = − ∣ 1 2 7 − 1 0 − 5 − 10 5 0 0 − 7 0 0 − 1 − 12 3 ∣ =-\begin{vmatrix} 1&2&7&-1\\ 0&-5&-10&5\\ 0&0&-7&0\\ 0&-1&-12&3\\ \end{vmatrix} =− ​1000​2−50−1​7−10−7−12​−1503​ ​

交换第3列和第4列（变号）： = ∣ 1 2 − 1 7 0 − 5 5 − 10 0 0 0 − 7 0 − 1 3 − 12 ∣ =\begin{vmatrix} 1&2&-1&7\\ 0&-5&5&-10\\ 0&0&0&-7\\ 0&-1&3&-12\\ \end{vmatrix} = ​1000​2−50−1​−1503​7−10−7−12​ ​

交换第3行和第4行（变号）： = − ∣ 1 2 − 1 7 0 − 5 5 − 10 0 − 1 3 − 12 0 0 0 − 7 ∣ =-\begin{vmatrix} 1&2&-1&7\\ 0&-5&5&-10\\ 0&-1&3&-12\\ 0&0&0&-7\\ \end{vmatrix} =− ​1000​2−5−10​−1530​7−10−12−7​ ​

交换第2行和第3行（变号）： = ∣ 1 2 − 1 7 0 − 1 3 − 12 0 − 5 5 − 10 0 0 0 − 7 ∣ =\begin{vmatrix} 1&2&-1&7\\ 0&-1&3&-12\\ 0&-5&5&-10\\ 0&0&0&-7\\ \end{vmatrix} = ​1000​2−1−50​−1350​7−12−10−7​ ​

第2行×(-5)加到第3行： = ∣ 1 2 − 1 7 0 − 1 3 − 12 0 0 − 10 50 0 0 0 − 7 ∣ =\begin{vmatrix} 1&2&-1&7\\ 0&-1&3&-12\\ 0&0&-10&50\\ 0&0&0&-7\\ \end{vmatrix} = ​1000​2−100​−13−100​7−1250−7​ ​ = 1 × ( − 1 ) × ( − 10 ) × ( − 7 ) =1×(-1)×(-10)×(-7) =1×(−1)×(−10)×(−7) = − 70 =-70 =−70

已知行列 D = ∣ 3 0 4 0 3 2 2 2 0 − 7 0 0 5 3 − 2 2 ∣ D=\begin{vmatrix} 3&0&4&0\\ 3&2&2&2\\ 0&-7&0&0\\ 5&3&-2&2\\ \end{vmatrix} D= ​3305​02−73​420−2​0202​ ​，求 M 41 + M 42 + M 43 + M 44 M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44} M41​+M42​+M43​+M44​。

解： M 41 + M 42 + M 43 + M 44 M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44} M41​+M42​+M43​+M44​ = − ( − 1 ) 4 + 1 M 41 + ( − 1 ) 4 + 2 M 42 − ( − 1 ) 4 + 3 M 43 + ( − 1 ) 4 + 4 M 44 =-(-1)^{4+1}M_{41}+(-1)^{4+2}M_{42}-(-1)^{4+3}M_{43}+(-1)^{4+4}M_{44} =−(−1)4+1M41​+(−1)4+2M42​−(−1)4+3M43​+(−1)4+4M44​ = − A 41 + A 42 − A 43 + A 44 =-A_{41}+A_{42}-A_{43}+A_{44} =−A41​+A42​−A43​+A44​ = ( − 1 ) × A 41 + 1 × A 42 + ( − 1 ) × A 43 + 1 × A 44 =(-1)×A_{41}+1×A_{42}+(-1)×A_{43}+1×A_{44} =(−1)×A41​+1×A42​+(−1)×A43​+1×A44​

观察发现，上述表达式的值即为以下行列式的值： ∣ 3 0 4 0 3 2 2 2 0 − 7 0 0 − 1 1 − 1 1 ∣ \begin{vmatrix} 3&0&4&0\\ 3&2&2&2\\ 0&-7&0&0\\ -1&1&-1&1\\ \end{vmatrix} ​330−1​02−71​420−1​0201​ ​

根据行列式按行展开定理，对上述行列式第3行（该行0最多）进行展开得： = ( − 7 ) × ( − 1 ) 3 + 2 × ∣ 3 4 0 3 2 2 − 1 − 1 1 ∣ =(-7)×(-1)^{3+2}×\begin{vmatrix} 3&4&0\\ 3&2&2\\ -1&-1&1\\ \end{vmatrix} =(−7)×(−1)3+2× ​33−1​42−1​021​ ​ = 7 × [ 3 × ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 2 2 − 1 1 ∣ + 4 × ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 3 2 − 1 1 ∣ ] =7×[3×(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 2&2\\ -1&1\\ \end{vmatrix}+4×(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 3&2\\ -1&1\\ \end{vmatrix}] =7×[3×(−1)1+1 ​2−1​21​ ​+4×(−1)1+2 ​3−1​21​ ​] = 7 × { 3 × [ 2 × 1 − 2 × ( − 1 ) ] − 4 × [ 3 × 1 − 2 × ( − 1 ) ] } =7×\{3×[2×1-2×(-1)]-4×[3×1-2×(-1)]\} =7×{3×[2×1−2×(−1)]−4×[3×1−2×(−1)]} = 7 × ( 3 × 4 − 4 × 5 ) =7×(3×4-4×5) =7×(3×4−4×5) = 7 × ( 12 − 20 ) =7×(12-20) =7×(12−20) = 7 × ( − 8 ) =7×(-8) =7×(−8) = − 56 =-56 =−56

略。

∣ x a a ⋯ a a x a ⋯ a a a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a a a ⋯ x ∣ \begin{vmatrix} x&a&a&{\cdots}&a\\ a&x&a&{\cdots}&a\\ a&a&x&{\cdots}&a\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a&a&a&{\cdots}&x\\ \end{vmatrix} ​xaa⋮a​axa⋮a​aax⋮a​⋯⋯⋯⋱⋯​aaa⋮x​ ​

技巧：构造行和。 解：将第 2 、 3... n 2、3...n 2、3...n列依次加到第1列：

= ∣ x + ( n − 1 ) a a a ⋯ a x + ( n − 1 ) a x a ⋯ a x + ( n − 1 ) a a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x + ( n − 1 ) a a a ⋯ x ∣ =\begin{vmatrix} x+(n-1)a&a&a&{\cdots}&a\\ x+(n-1)a&x&a&{\cdots}&a\\ x+(n-1)a&a&x&{\cdots}&a\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x+(n-1)a&a&a&{\cdots}&x\\ \end{vmatrix} = ​x+(n−1)ax+(n−1)ax+(n−1)a⋮x+(n−1)a​axa⋮a​aax⋮a​⋯⋯⋯⋱⋯​aaa⋮x​ ​ = x + ( n − 1 ) a ∣ 1 a a ⋯ a 1 x a ⋯ a 1 a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 a a ⋯ x ∣ =x+(n-1)a\begin{vmatrix} 1&a&a&{\cdots}&a\\ 1&x&a&{\cdots}&a\\ 1&a&x&{\cdots}&a\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 1&a&a&{\cdots}&x\\ \end{vmatrix} =x+(n−1)a ​111⋮1​axa⋮a​aax⋮a​⋯⋯⋯⋱⋯​aaa⋮x​ ​

再将第1列×(-a)依次加到第 2 、 3... n 2、3...n 2、3...n列： = [ x + ( n − 1 ) a ] ∣ 1 0 0 ⋯ 0 1 x − a 0 ⋯ 0 1 0 x − a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 0 0 ⋯ x − a ∣ =[x+(n-1)a]\begin{vmatrix} 1&0&0&{\cdots}&0\\ 1&x-a&0&{\cdots}&0\\ 1&0&x-a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 1&0&0&{\cdots}&x-a\\ \end{vmatrix} =[x+(n−1)a] ​111⋮1​0x−a0⋮0​00x−a⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​000⋮x−a​ ​

上式右边为下三角行列式，故： = [ x + ( n − 1 ) a ] ( n − 1 ) ( x − a ) =[x+(n-1)a](n-1)(x-a) =[x+(n−1)a](n−1)(x−a)

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.4 行列式的计算（一）