计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 n ! n! n! 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。

主元的乘积为 2 ∗ 3 2 ∗ 4 3 ∗ 5 4 = 5 2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} = 5 2∗23​∗34​∗45​=5。

大公式有 4 ! = 24 4!=24 4!=24 项，但只有 5 个非零项。

d e t A = 16 − 4 − 4 − 4 + 1 = 5 det A = 16-4-4-4+1 = 5 detA=16−4−4−4+1=5

16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积，其余的通过公式我们也都可以找到。

消元过程会让主元 d 1 , ⋯   , d n d_1,\cdots,d_n d1​,⋯,dn​ 最后出现在矩阵 U U U 的对角线上，如果没有行交换，那么有：

d e t A = ( d e t L ) ( d e t U ) = ( 1 ) ( d 1 d 2 ⋯ d n ) det A = (det L)(det U) = (1)(d_1d_2\cdots d_n) detA=(detL)(detU)=(1)(d1​d2​⋯dn​)

如果有行交换，那么有 P A = L U PA=LU PA=LU 而且有 ∣ P ∣ = ± 1 |P| = \pm1 ∣P∣=±1，所以

d e t A = ± ( d 1 d 2 ⋯ d n ) det A = \pm(d_1d_2\cdots d_n) detA=±(d1​d2​⋯dn​)

如果主元的个数少于 n n n，那么 d e t A = 0 det A=0 detA=0，矩阵是不可逆的。

d e t A = 2 ∗ 3 2 ∗ 4 3 ∗ 5 4 ⋯ ∗ n + 1 n = n + 1 det A = 2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} \cdots *\frac{n+1}{n} = n+1 detA=2∗23​∗34​∗45​⋯∗nn+1​=n+1

而且，我们可以看到，前 k k k 个主元来自于矩阵 A A A 左上角大小为 k × k k×k k×k 的矩阵 A k A_k Ak​。

d e t A k = d 1 d 2 ⋯ d k det A_k = d_1d_2\cdots d_k detAk​=d1​d2​⋯dk​

假设没有行交换，那在我们消元的过程中，有 A k = L k U k A_k = L_kU_k Ak​=Lk​Uk​，因此

d e t   A k d e t   A k − 1 = d e t   U k d e t   U k − 1 → d k = d 1 d 2 ⋯ d k − 1 d k d 1 d 2 ⋯ d k − 1 \frac{det\space A_k}{det \space A_{k-1}}=\frac{det\space U_k}{det \space U_{k-1}} \to d_k=\frac{d_1d_2\cdots d_{k-1}d_k}{d_1d_2\cdots d_{k-1}} det Ak−1​det Ak​​=det Uk−1​det Uk​​→dk​=d1​d2​⋯dk−1​d1​d2​⋯dk−1​dk​​

大公式直接利用矩阵中的每一个元素来计算行列式，一个 3 × 3 3×3 3×3 矩阵的计算公式如下所示。

注意到，每一项乘积的三个元素都分别来自于矩阵中的三行和三列，而其前面的符号其实是由置换矩阵来决定的。

由行列式的线性性质我们可以将一个 2 × 2 2×2 2×2 矩阵的行列式分成四项：

其中，第一个和第四个行列式为 0，因为它们有全零列。因此，只余下 2 ! = 2 2!=2 2!=2 项需要计算。

对于一个 3 × 3 3×3 3×3 的矩阵，其行列式可以分成 27 项，但只有 6 个非零项。

前面三个置换矩阵有偶数次行交换，因此其行列式为 1；而后面三个置换矩阵有奇数次行交换，因此其行列式为 -1。

因此，矩阵 A A A 的行列式是 n ! n! n! 项简单行列式的和，每一项的系数是 1 或者 -1，其中简单的行列式是从每一行每一列中选取一个元素组成。

利用行列式的线性性质，我们将第一行的三个元素分别提取出来，可以得到。

其中，括号里面的项称为代数余子式（cofactor），它们是 2 × 2 2×2 2×2 矩阵的行列式。第一行贡献出因子 a 11 ， a 12 ， a 13 a_{11}，a_{12}，a_{13} a11​，a12​，a13​，余下的行贡献出代数余子式 C 11 ， C 12 ， C 13 C_{11}，C_{12}，C_{13} C11​，C12​，C13​，然后行列式的值就是 a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} a11​C11​+a12​C12​+a13​C13​。

接下来，我们需要注意符号。要计算 C 1 j C_{1j} C1j​，我们划掉第 1 1 1 行第 j j j 列来产生一个大小为 n − 1 n-1 n−1 的子矩阵 M 1 j M_{1j} M1j​，然后

C 1 j = ( − 1 ) 1 + j d e t   M 1 j C_{1j} = (-1)^{1+j} det \space M_{1j} C1j​=(−1)1+jdet M1j​

d e t   A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + ⋯ + a 1 n C 1 n det \space A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots +a_{1n}C_{1n} det A=a11​C11​+a12​C12​+⋯+a1n​C1n​

注意，对其它行来说，也有同样的情况。对 C i j C_{ij} Cij​ 来说，我们划掉第 i i i 行第 j j j 列来产生一个大小为 n − 1 n-1 n−1 的子矩阵 M i j M_{ij} Mij​。

C i j = ( − 1 ) i + j d e t   M i j C_{ij} = (-1)^{i+j} det \space M_{ij} Cij​=(−1)i+jdet Mij​

d e t   A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + ⋯ + a i n C i n det \space A = a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots +a_{in}C_{in} det A=ai1​Ci1​+ai2​Ci2​+⋯+ain​Cin​

同时，行列式也可以沿着某一列进行计算。

d e t   A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + ⋯ + a n j C n j det \space A = a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots +a_{nj}C_{nj} det A=a1j​C1j​+a2j​C2j​+⋯+anj​Cnj​

代数余子式公式在矩阵中有许多零时是非常有用的。

获取更多精彩，请关注「seniusen」!