m a x { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B) max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B) s t e p 1 : 因为 A 的最高阶非零子式是 ( A , B ) 的非零子式，因此 R ( A ) ≤ R ( A , B ) , 同理可得 R ( B ) ≤ R ( A , B ) 即 m a x { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) s t e p 2 : 设 R ( A ) = r , R ( B ) = s , 将 A 和 B 分别做初等列变换化成列阶梯形矩阵 A ~ 和 B ~ , 则 A ~ 和 B ~ 中分别含 r 个和 s 个非零列 因此 ( A , B ) ⟶ ˚ ( A ~ , B ~ ) 由于 ( A ~ , B ~ ) 只有 r + s 个非零列向量，因此 R ( A ~ , B ~ ) ≤ r + s 即 R ( A , B ) = R ( A ~ , B ~ ) ≤ r + s = R ( A ) + R ( B ) step1: 因为A的最高阶非零子式是(A,B)的非零子式，因此R(A)\leq R(A,B),同理可得R(B)\leq R(A,B)\\ 即max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)\\ step2: 设R(A)=r,R(B)=s,将A和B分别做初等列变换化成列阶梯形矩阵\widetilde{A}和\widetilde{B},则\widetilde{A}和\widetilde{B}中分别含r个和s个非零列\\ 因此(A,B)\mathring{\longrightarrow}(\widetilde{A},\widetilde{B})\\ 由于(\widetilde{A},\widetilde{B})只有r+s个非零列向量，因此R(\widetilde{A},\widetilde{B})\leq r+s\\ 即R(A,B)=R(\widetilde{A},\widetilde{B})\leq r+s=R(A)+R(B) step1:因为A的最高阶非零子式是(A,B)的非零子式，因此R(A)≤R(A,B),同理可得R(B)≤R(A,B)即max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)step2:设R(A)=r,R(B)=s,将A和B分别做初等列变换化成列阶梯形矩阵A 和B ,则A 和B 中分别含r个和s个非零列因此(A,B)⟶˚​(A ,B )由于(A ,B )只有r+s个非零列向量，因此R(A ,B )≤r+s即R(A,B)=R(A ,B )≤r+s=R(A)+R(B)

R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R(A+B)\leq R(A)+R(B) R(A+B)≤R(A)+R(B) 设 A 和 B 都是 m × n 型矩阵，对 ( A + B , B ) 进行初等列变换可以得到 ( A , B ) ，因此 R ( A + B ) ≤ R ( A + B , B ) = R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) 设A和B都是m\times n型矩阵，对(A+B,B)进行初等列变换可以得到(A,B)，因此\\ R(A+B)\leq R(A+B,B)=R(A,B)\leq R(A)+R(B) 设A和B都是m×n型矩阵，对(A+B,B)进行初等列变换可以得到(A,B)，因此R(A+B)≤R(A+B,B)=R(A,B)≤R(A)+R(B)

R ( A B ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(AB)\leq min\{R(A),R(B)\} R(AB)≤min{R(A),R(B)} 设 A 和 B 分别是 m × s , s × n 型矩阵，将 A 按列分块，得到 A = ( a , a 2 , ⋯   , a s ) 令 B = ( λ i j ) s n ，根据分块矩阵乘法可得， A B 的第 i 列均可写成 λ 1 i a 1 + λ 2 i a 2 + ⋯ + λ s i a s 将分块矩阵 ( A , A B ) ，进行初等列变换可得 ( A , 0 ) ，即 ( A , A B ) ⟶ c ( A , 0 ) 因此 R ( A , A B ) = R ( A ) ，又 R ( A B ) ≤ R ( A , A B ) 所以 R ( A B ) ≤ R ( A ) 同理可得 R ( B T A T ) ≤ R ( B T ) , R ( A B ) = R ( B T A T ) , 所以 R ( A B ) ≤ R ( B ) 综上 : R ( A B ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } 设A和B分别是m\times s,s\times n型矩阵，将A按列分块，得到A=(a_,a_2,\cdots,a_s)\\ 令B=(\lambda_{ij})_{sn}，根据分块矩阵乘法可得，AB的第 i 列均可写成\\ \lambda_{1i}a_1+\lambda_{2i}a_2+\cdots+\lambda_{si}a_s\\ 将分块矩阵(A,AB)，进行初等列变换可得(A,0)，即(A,AB)\stackrel{c}{\longrightarrow}(A,0)\\ 因此R(A,AB)=R(A)，又R(AB)\leq R(A,AB)\\ 所以R(AB)\leq R(A)\\ 同理可得R(B^TA^T)\leq R(B^T),R(AB)=R(B^TA^T),所以R(AB)\leq R(B)\\ 综上: R(AB)\leq min\{R(A),R(B)\} 设A和B分别是m×s,s×n型矩阵，将A按列分块，得到A=(a,​a2​,⋯,as​)令B=(λij​)sn​，根据分块矩阵乘法可得，AB的第i列均可写成λ1i​a1​+λ2i​a2​+⋯+λsi​as​将分块矩阵(A,AB)，进行初等列变换可得(A,0)，即(A,AB)⟶c​(A,0)因此R(A,AB)=R(A)，又R(AB)≤R(A,AB)所以R(AB)≤R(A)同理可得R(BTAT)≤R(BT),R(AB)=R(BTAT),所以R(AB)≤R(B)综上:R(AB)≤min{R(A),R(B)}