经过上一讲的叙述，想必大家已经接受了波函数的概念，波函数于量子力学就相当于速度、位移于经典力学，所以如何求出粒子的波函数是一个很重要的话题。上一讲提到波函数的形式由Schroedinger方程给出： i ℏ ∂ ∂ t ψ ( r , t ) = − ℏ 2 2 m Δ ψ ( r , t ) + V ( r , t ) ψ ( r , t ) i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t)+V(\textbf r,t)\psi(\textbf r,t) iℏ∂t∂​ψ(r,t)=−2mℏ2​Δψ(r,t)+V(r,t)ψ(r,t)其中 Δ \Delta Δ是Laplace算子， Δ = ∇ ⋅ ∇ \Delta=\nabla \cdot \nabla Δ=∇⋅∇， m m m代表粒子的质量， V ( r , t ) V(\textbf r,t) V(r,t)代表它的potential。薛定谔方程乍一看还是有点复杂的，所以我们先从最简单的情况着手，讨论薛定谔方程与波函数的形式。

考虑一个没有势能的自由粒子，也就是 ∀ r , t \forall \textbf r, t ∀r,t, V ( r , t ) = 0 V(\textbf r,t)=0 V(r,t)=0，此时薛定谔方程为 i ℏ ∂ ∂ t ψ ( r , t ) = − ℏ 2 2 m Δ ψ ( r , t ) i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t) iℏ∂t∂​ψ(r,t)=−2mℏ2​Δψ(r,t)

这就是我们在电磁理论中经常处理的波动方程，它的解具有下面这种形式： ψ ( r , t ) = A e i ( k ⋅ r − w t ) \psi(\textbf r,t)=Ae^{i(\textbf k\cdot \textbf r-wt)} ψ(r,t)=Aei(k⋅r−wt)

其中 A A A是常数， k \textbf k k是波向量， w w w是波的角频率，它们满足 w = ℏ ∣ k ∣ 2 2 m w = \frac{\hbar |\textbf k|^2}{2m} w=2mℏ∣k∣2​

代入动量与波向量的de Broglie Relation p = ℏ k \textbf p = \hbar \textbf k p=ℏk

可以得到动量与角频率之间满足 w = ∣ p ∣ 2 2 m ℏ w = \frac{|\textbf p|^2}{2m\hbar} w=2mℏ∣p∣2​

代入能量与角频率的de Broglie Relation E = ℏ w = ∣ p ∣ 2 2 m E = \hbar w = \frac{|\textbf p|^2}{2m} E=ℏw=2m∣p∣2​

这说明即使是在量子力学（在这个最简单的例子）中，动量与能量之间的经典关系依然成立。根据波函数的表达式可以得到粒子的概率分布表达式： d P ( r , t ) ∝ ∣ ψ ( r , t ) ∣ 2 = ∣ A ∣ 2 d \mathcal{P}(\textbf r,t) \propto |\psi(\textbf r,t)|^2 = |A|^2 dP(r,t)∝∣ψ(r,t)∣2=∣A∣2

也就是说粒子的probability of presence是均匀的。

物质波也满足叠加原理，用波向量区分不同物质波，它们叠加后的结果可以表示为 ψ ( r , t ) = 1 ( 2 π ) 3 / 2 ∫ g ( k ) e i ( k ⋅ r − w ( k ) t ) d 3 k \psi(\textbf r,t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int g(\textbf k) e^{i(\textbf k \cdot \textbf r-w(\textbf k)t)}d^3 \textbf k ψ(r,t)=(2π)3/21​∫g(k)ei(k⋅r−w(k)t)d3